Question

resolva em R as seguintes inequações.
a) (2x+1)(x+2)<0

Answer 1

Vamos lá

Pede-se para resolver, no âmbito dos Reais, a inequação abaixo:

(2x+1)*(x+2)  < 0

Agora note que temos aí em cima o produto entre duas funções do 1º grau, como resultado terá que ser negativo (menor do que  zero).
Temos: f(x) = 2x+1; e temos g(x) = x+2.

Faremos o seguinte: encontraremos as raízes de cada uma das equações dada. Depois, em função de suas raízes,  analisaremos a variação de sinais de cada uma e, finalmente, veremos qual é o domínio da inequação dada.
Assim teremos:

f(x) = 2x+1 ---> raízes: 2x+1 = 0 ---> 2x = -1 ----> x = -1/2
g(x) = x+2 ---> raízes:  x+2 =  0 --> x = -2

Agora vamos analisar a variação de sinais de cada uma delas e, no fim, encontraremos o domínio da inequação dada, no âmbito dos Reais:

a) f(x) = 2x + 1 ..- - - - - - - - - - - - - -(-1/2)++++++++++++++++++
b) g(x) = x + 2 ... - - - - - (-2)++++++++++++++++++++++++++
c)a*b . . . . . . .  +++++++(-2)- - - - --(-1/2)++++++++++++++++++

Como queremos que o produto  entre f(x) e g(x) seja menor do que zero, então só nos vai interessar onde tiver sinal de menos no item  "c" acima, que nos fornece o resultado do produto entre  f(x) e g(x).
Assim, o domínio da inequação dada será:

- 2 < x < - 1/2 ------ Esta é a resposta. Este é domínio da inequação dada.

Se você quiser, poderá apresentar o domínio da seguinte forma, o que é a mesma coisa:

S = {x ∈ R | -2 < x < -1/2}

Ou ainda, também se quiser, o domínio poderá ser apresentado assim, o que significa o mesmo:

S = (-2; -1/2) ou,  o que é a mesma coisa: ]-2; -1/2[

Deu pra entender  bem?

OK?
Adjemir.