Question

6. As barras da figura, uma de ferro e outra de aluminio,
encontram-se engatadas numa parede indeformável,
como mostra a figura. Determine seus comprimentos
para que a diferença entre elas seja sempre de 10 cm,
em qualquer temperatura. (Dados: cal = 24 10 °C'e
afe = 12 . 10c')​

Answer 1

Resposta:

O comprimento inicial da barra de ferro deve ser igual a 20 cm e o comprimento inicial da barra de alumínio deve ser igual a 10 cm.

Explicação:

Trata-se de um problema que envolve a dilatação linear e a seguinte equação deve ser útil:

$\boxed{\sf \displaystyle \Delta L = \alpha \cdot L_0 \cdot \Delta T} \ \sf (I)$

Deve-se observar que, o problema pede para encontrar os tamanhos iniciais de duas barras, uma de alumínio e outra de ferro, para que a diferença de comprimento entre as duas não varie ao se alterar a temperatura. Para tal podemos afirmar que a dilatação das duas barras deve ser a mesma (para uma mesma variação de temperatura):

$\sf \displaystyle \Delta L_{Al} = \Delta L_{Fe}$

usando a equação (I) para o alumínio e o ferro

$\sf \displaystyle \alpha_{Al} \cdot L_{0Al} \cdot \Delta T = \alpha_{Fe} \cdot L_{0Fe} \cdot \Delta T$

Observe que o ΔT é o mesmo nos dois lados da igualdade e pode ser simplificado. Substituindo os coeficientes de dilatação linear dos dois materiais (dados no enunciado),

$\sf \displaystyle 24\times10^{-6} \cdot L_{0Al} = 12 \times 10^{-6} \cdot L_{0Fe}$

$\boxed{\sf \displaystyle L_{0Fe} = 2 \cdot L_{0Al}} \ \sf (II)$

Ou seja, o comprimento inicial da barra de ferro deve ser o dobro do comprimento inicial da barra de alumínio.

Como deseja-se que a diferença entre os comprimentos seja de 10 cm, tem-se:

$\sf \displaystyle L_{0Fe} - L_{0Al} = 10 \: cm$

Usando aqui o valor da equação (II),

$\sf \displaystyle 2 L_{0Al} - L_{0Al} = 10 \: cm$

$\boxed{\sf \displaystyle L_{0Al} = 10 \: cm}$

e, usando esse valor na equação (II),

$\boxed{\sf \displaystyle L_{0Fe} = 20 \: cm}$