Question

(30 PONTOS) Utilizando a propriedade telescópica, obtenha a fórmula fechada para a soma dos termos da progressão geométrica:
$\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{k}{\beta^{n}}\;\;\;\;\;(\beta\neq 1)$

Answer 1

Hola. Utilizaremos la función $a_n=\beta^n$ con $\beta\notin\{0,1\}$

          $\displaystyle \sum_{n=0}^k \beta ^{n+1}-\beta^{n} = \beta ^{k+1}-\beta^{0}\\ \\ \\ \sum_{n=0}^k \beta^n(\beta -1) = \beta ^{k+1}-1\\ \\ \\ \boxed{\sum_{n=0}^k \beta^n=\dfrac{\beta ^{k+1}-1}{\beta-1}}$