Question

Seja T: R² → R² uma transformação linear que dobra o comprimento do vetor u = (2,1) e triplica o comprimento do vetor v= (1, 2), sem alterar as direções nem inverter os sentidos.
Calcule T(0,3).

Answer 1

Os vetores u = (2,1) e v = (1,2) são linearmente independentes (um não é múltiplo do outro), então {u,v} pode ser utilizado como uma base do R² que chamaremos de β.

Como T: R²→R², onde:

T(u) = T(2,1) = (4,2)
T(v) = T(1,2) = (3,6)

Então uma matriz M associada a transformação T na base β será:

M = $\left[\begin{array}{cc}4&3\\2&6\end{array}\right]$

Importante notar aqui que para operarmos M a um vetor, este vetor deve estar escrito na base β e não na base canônica {(1,0),(0,1)}.  Queremos saber a transformação do vetor w = (0,3), então precisamos primeiro encontrar sua forma na base β.

w = c1 * u + c2 * v
w = c1 (2,1) + c2 (1,2)
w = (2c1 + c2, c1 + 2c2)

Separando as coordenadas:

x = 2 c1 + c2
y = c1 + 2c2

A solução do sistema será:

$c1=\frac{2x-y}{3}$

$c2=\frac{-x+2y}{3}$

Logo, o vetor (0,3) na base β terá coordenadas:

$c1=\frac{2*0-3}{3}=-1$

$c2=\frac{-0+2*3}{3}=-2$

Finalmente aplicando a matriz de transformação M ao vetor (0,3) na base β:

$\left[\begin{array}{cc}4&3\\2&6\end{array}\right] * \left[\begin{array}{c}-1&-2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}-7&-14\end{array}\right]$

Logo T(0,3) = (-7,-14)