Question

Seja T: R² → R² o operador linear definido por T(x,y) = (7x - 4y, -4x + y).
Determine:

(a) uma base do R² em relação à qual a matriz do operador T é diagonal.
(b) Dê a matriz de T nessa base.

Answer 1

(a) uma base do R² em relação à qual a matriz do operador T é diagonal.
Precisamos encontrar a Matriz de transformação e seus autovetores para determinar uma base em que essa matriz seja diagonal.

A partir da base canônica do R² {(1,0),(0,1)}:

T(1,0) = ( 7*1 - 4*0, -4*1 + 0) = (7,-4) = 7*(1,0) - 4(0,1)
T(0,1) = (7*0 - 4 *1, -4*0 + 1) = (-4,1) = -4(1,0) + 1(0,1)

Então uma matriz M associada a essa transformação linear:

$M = \left[\begin{array}{cc}7&-4\\-4&1\end{array}\right]$

Encontrando os autovalores de M:

det(M - λI) = 0

 $det\left[\begin{array}{cc}7-\lambda&-4\\-4&1-\lambda\end{array}\right]=0$

(7-λ)(1-λ) - (-4)(-4) = 7 - 8λ + λ² - 16 =  λ² - 8 λ - 9 = ( λ - 9) ( λ + 1) = 0

 λ = 9 ou  λ = -1 são autovalores

Encontrando os autovetores associados, sendo v = (x,y)

T(v) =  (7x - 4y, -4x + y) = ( λ x,  λ y)

Para  λ = 9

9 x = 7x - 4 y
x  = - 2y

v é da forma (-2y,y) = y(-2,1), (-2,1) é um autovetor

Para λ = -1

-x = 7x - 4y
8x = 4y
x = y/2

v é da forma (y/2,y) = 1/2y(1,2), (1,2) é um autovetor

Logo uma base de autovetores em relação a qual a matriz do operador T é diagonal será {(2,1),(1,2)}

b) Como a matriz é diagonalizável (possui dois auto valores), então podemos escrevê-la como:

$M = \left[\begin{array}{cc}\lambda_1&0\\0&\lambda_2\end{array}\right]$

Ou seja:
$M = \left[\begin{array}{cc}9&0\\0&\--1\end{array}\right]$