Question

Determine a area da região delimitada pelo gráfico de f[1,-1] pertencente aos reais, e o eixo X, sendo: F(x)= 2x(x²-2)³

Answer 1

F(x) = 2x(x² -2)³

vamos fatorar (x² -2)³

                n 
(x² -2)³ = ∑  x^(n-k)*(-2)^(k)*Cn,k   ← Combinação = n!/(n-k)!k!
               k = 0  
                   n
 (x²  -2)³ =   ∑ (x²)³⁻⁰(-2)⁰* 3!/(2!0!) + (x²)³⁻¹(-2)¹*3!/(2!1!) +  →
                  k = 0
→ + (x²)³⁻²(-2)²*3!/1!2! +(x²)³⁻³(-2)³*3!/(3!0!)

                n
(x² -2)³ =  ∑  (x²)³*1*1 + (x²)²(-2)*3 + (x²)¹(4)*3 + (x²)⁰(-8)(1)
               k = 0

(x² -2)³ = x⁶ -6x⁴ +12x² - 8

F(x) = 2x(x⁶ -6x⁴ + 12x² - 8)
F(x) = 2x⁷ -12x⁵ + 24x³ - 16x

Calculo da area do grafico!

              ₁
Area = ∫  (2x⁷ -12x⁵ + 24x³ -16x)dx
            -₁
   
Integrais de funções não simetricas, tem areas igual a zero!
mas, irei continuar a resolução para demontrar que realmente será zero!

                                                               ₁
Area =  2x⁸/8 -12x⁶/6 + 24x⁴/4 -16x²/2]
                                                              -₁
                                             ₁
Area = x⁸/4 -2x⁶ + 6x⁴ -8x²]
                                             -₁

Area = 1⁸/4  -2*1⁶ + 6*1⁴ -8*1² - [ (-1)⁸/4 -2*(-1)⁶ + 6*(-1)⁴ -8*(-1)²]

Area = 1/4 -2 + 6 - 8 - ( 1/4 + 2 + 6 -8)

Area = 1/4 - 1/4 -2 + 2 + 6 - 6 - 8 + 8

Area = 0