Question

determinar A^log(loga)/loga

Answer 1

Bom dia!

Acredito que a equação que se deseja chegar à resposta seja essa:
$a^{\log(\log{a})/\log{a}}$, certo?

Tomando esta como verdade vou demonstrar algumas propriedades para a resolução e depois a resolveremos, ok?

1ª. Mudança de base:
$\log_b{a}=\frac{\log_c{a}}{\log_c{b}}$

Demonstração:
$\log_b{a}=x\\a=b^x\text{ I}\\\log_c{a}=y\\a=c^y\text{ II}\\\log_c{b}=z\\b=c^z\text{ III}$

Substituindo, agora, I em II e depois III em II, teremos:
$a=b^x\\a=c^y\\b^x=c^y\\b=c^z\\(c^z)^x=c^y\\c^{zx}=c^y\\zx=y$

Substiuindo pelas expressões originais:
$\log_c{b}\cdot\log_b{a}=\log_c{a}\\\log_b{a}=\frac{\log_c{a}}{\log_c{b}}$

Demonstrada a propriedade da mudança de base.

2ª Inversão do (se estiver em um log) com a base.
$a^{\log_b{c}}=x\\\log_b{c}=\log_a{x}\\\log_b{c}=\frac{\log_b{x}}{\log_b{a}}\\\log_b{c}\cdot\log_b{a}=\log_b{x}\\b^{\log_b{c}\cdot\log_b{a}}=x$

Aqui temos outra propriedade para ser usada:
$a^{\log_a{b}}=x\\\log_a{b}=\log_a{x}\\b=x$

Se o expoente for um logaritmo de mesma base que a base da potência a resposta é o logaritmando do expoente.
Então:
$b^{\log_b{c}\cdot\log_b{a}}=x\\(b^{\log_b{c}})^{\log_b{a}}=x\\c^{\log_b{a}}=x$

Conclusão:
$a^{\log_b{c}}=c^{\log_b{a}}$

Usando estas propriedades podemos resolver agora:
$a^{\log(\log{a})/\log{a}}\\a^{\log_a(\log{a})}\\(\log{a})^{\log_a{a}}=\log{a}$

Espero ter ajudado!