Question

Pessoal por favor ajudar.

Uma pesquisa feita com 830 consumidores de desodorante, revelou que:
I- 560 usam o desodorante A
I- 210 usam o desodorante B
Iii- 660 usam somente um desses desodorantes.
Com base nestes dados pode concluir que o número que usam pelo menos um desses desodorantes é:

Answer 1

$\bullet\;\;$ Reescrevendo as informações do enunciado:

$\mathrm{(I)}\;\;\;\#(A)=560\\ \\ \mathrm{(II)}\;\;\;\#(B)=210\\ \\ \mathrm{(III)}\;\;\;\#[(A\cap \overline{B})\cup(B\cap \overline{A})]=660$


$\bullet\;\;$ Como os conjuntos $(A\cap \overline{B})$ e $(B\cap \overline{A})$ são disjuntos, de $\mathrm{(III)},$ segue que

$\#(A\cap \overline{B})+\#(B\cap \overline{A})=660\;\;\;\;\;\mathbf{(iv)}$


$\bullet\;\;$ Sabemos também que

$\left\{ \begin{array}{lc} \#(A\cap \overline{B})=\#(A)-\#(A\cap B)&\;\;\;\;\mathbf{(v)}\\ \\ \#(B\cap \overline{A})=\#(B)-\#(A\cap B)&\;\;\;\;\mathbf{(vi)} \end{array} \right.$


Somando as equações $\mathbf{(v)}$ e $\mathbf{(vi)},$ temos

$\#(A\cap \overline{B})+\#(B\cap \overline{A})=\#(A)+\#(B)-2\cdot \#(A\cap B)$


Substituindo na igualdade acima os valores já conhecidos, temos

$660=560+210-2\cdot \#(A\cap B)\\ \\ 2\cdot \#(A\cap B)=560+210-660\\ \\ 2\cdot \#(A\cap B)=110\\ \\ \#(A\cap B)=\frac{110}{2}\\ \\ \#(A\cap B)=55\;\;\;\;\mathbf{(vii)}$


$\bullet\;\;$ O número de consumidores que usam pelo menos um dos dois desodorantes é

$\#(A\cup B)=\#(A)+\#(B)-\#(A\cap B)\\ \\ \#(A\cup B)=560+210-55\\ \\ \boxed{\begin{array}{c}\#(A\cup B)=715 \end{array}}$