Question

Resolva em R a seguinte inequação : 3|x+1| - 2 >igual 5|x-1| -3|2x-1|

Answer 1

Resolver em $\mathbb{R}$ a inequação

$3\,|x+1|-2\geq 5\,|x-1|-3\,|2x-1|$


Passo 1. Encontrar os pontos onde os módulos mudam de sentença:

$x+1=0\;\;\Rightarrow\;\;x=-1\\ \\ x-1=0\;\;\Rightarrow\;\;x=1\\ \\ 2x-1=0\;\;\Rightarrow\;\;x=\frac{1}{2}$


Passo 2. Vamos resolver a inequação por partes, subdividindo o conjunto dos reais em intervalos, de modo que no intervalo considerado as expressões dos módulos não mudem de sentença:


$\bullet\;\;$ Caso I. Para $x<-1:$

Neste caso, segue que

$|x+1|=-(x+1)=-x-1\\ \\ |x-1|=-(x-1)=-x+1\\ \\ |2x-1|=-(2x-1)=-2x+1$


Então, a inequação fica

$3\,(-x-1)-2\geq 5\,(-x+1)-3\,(-2x+1)\\ \\ -3x-3-2\geq -5x+5+6x-3\\ \\ -3x-5\geq x+2\\ \\ -3x-x\geq 2+5\\ \\ -4x\geq 7\\ \\ 4x\leq -7\\ \\ x\leq -\frac{7}{4}$


Como todos os valores encontrados satisfazem a condição $x<-1,$ temos a solução parcial para este caso:

$S_{1}=\left(-\infty;\,-\frac{7}{4}\right]$


$\bullet\;\;$ Caso II. $-1\leq x<\frac{1}{2}:$

Agora, segue que

$|x+1|=x+1\\ \\ |x-1|=-(x-1)=-x+1\\ \\ |2x-1|=-(2x-1)=-2x+1$


Sendo assim, a inequação fica

$3\,(x+1)-2\geq 5\,(-x+1)-3\,(-2x+1)\\ \\ 3x+3-2\geq -5x+5+6x-3\\ \\ 3x+1\geq x+2\\ \\ 3x-x\geq 2-1\\ \\ 2x \geq 1\\ \\ x \geq \frac{1}{2}$


Nenhum valor encontrado satisfaz a condição $-1\leq x<\frac{1}{2}.$ Logo, a solução parcial para este segundo caso é vazia:

$S_{2}=\varnothing$


$\bullet\;\;$ Caso III. $\frac{1}{2}\leq x<1:$

Agora, temos que

$|x+1|=x+1\\ \\ |x-1|=-(x-1)=-x+1\\ \\ |2x-1|=2x-1$


E a inequação fica

$3\,(x+1)-2\geq 5\,(-x+1)-3\,(2x-1)\\ \\ 3x+3-2\geq -5x+5-6x+3\\ \\ 3x+1\geq -11x+8\\ \\ 3x+11x\geq 8-1\\ \\ 14x\geq 7\\ \\ x\geq \frac{7}{14}\\ \\ x\geq \frac{1}{2}$


Então, a solução parcial para este terceiro caso é

$S_{3}=\left[\frac{1}{2};\,1 \right )$


$\bullet\;\;$ Caso IV. $x\geq 1:$

Agora, segue que

$|x+1|=x+1\\ \\ |x-1|=x-1\\ \\ |2x-1|=2x-1$


E a inequação fica

$3\,(x+1)-2\geq 5\,(x-1)-3\,(2x-1)\\ \\ 3x+3-2\geq 5x-5-6x+3\\ \\ 3x+1\geq -x-2\\ \\ 3x+x\geq -2-1\\ \\ 4x\geq -3\\ \\ x\geq -\frac{3}{4}$


A solução parcial para este último caso é

$S_{4}=\left[1;\,+\infty \right )$


Passo 3. A solução para a inequação dada inicialmente é a reunião das soluções parciais:

$S=S_{1}\cup S_{2}\cup S_{3}\cup S_{4}\\ \\ S=\left(-\infty;\,-\frac{7}{4}\right]\cup \left[\frac{1}{2};\,1 \right )\cup \left[1;\,+\infty \right )\\ \\ S=\left(-\infty;\,-\frac{7}{4}\right]\cup \left[\frac{1}{2};\,+\infty \right )$


ou em notação usual

$S=\left\{x \in \mathbb{R}\left|\,x\leq -\frac{7}{4}\;\text{ ou }\;x\geq \frac{1}{2}\right. \right \}$