Question

Dois cavalos ( A e B) Partem simultaneamente de duas fazendas, um encontro ao outro, percorrendo a mesma estrada. Os cavalos desenvolvem velocidades de módulos constantes e iguais a 2m/s e as fazendas estão distanciadas de 10km. No Momento de partida dos cavalos, uma mosca, que estava na cabeça do cavalo A, levanta voo e se desloca até a testa do cavalo B. Em seguida, a mosca voa novamente até a testa do cavalo A e assim segue nesse vaivém, com a velocidade constante de 5m/s, até que os cavalos se encontram e esmagam a pobre mosca entre suas testas. Admitindo que a mosca gasta um temo desprezível pousada nas cabeças dos cavalos, calcule o espaço percorrido por ela desde o instante em que levanta voo pela primeira vez até o seu trágico Final.

a)Crie uma estrategia para resolver esse problema
b)Qual a dificuldade de calcular a distancia percorrida entre os dois cavalos?
c)Quanto tempo a mosca vai poder ficar voando entre uma cabeça e outra?
d) Quanto tempo levará ate os cavalos baterem as cabeças?
e) O tempo, nas questões C e D é igual? Por quê?
f) Determine a expressão algébrica que representa a distancia percorrida em função do tempo.
g) Calcule a distancia percorrida pela mosca ate os dois cavalos baterem a cabeça.

Answer 1

Segue em anexo uma representação gráfica para o problema.

$\bullet\;\;$ As posições dos cavalos serão representada por $x,$ em função do instante $t,$ com $t\geq 0:$

$\begin{array}{lc} x_{A}(t)=5000-2t&\;\;\;\;\text{(posi\c{c}\~{a}o do cavalo A)}\\ \\ x_{B}(t)=-5000+2t=-x_{A}(t)&\;\;\;\;\text{(posi\c{c}\~{a}o do cavalo B)} \end{array}$

($x$ dado em metros e $t$ em segundos).


$\bullet\;\;$ Em qual instante os dois cavalos vão se encontrar?

Queremos encontrar o instante de encontro $t_{\infty},$ de forma que

$x_{A}(t_{\infty})=x_{B}(t_{\infty})\\ \\ 5000-2t_{\infty}=-5000+2t_{\infty}\\ \\ 2t_{\infty}+2t_{\infty}=5000+5000\\ \\ 4t_{\infty}=10000\\ \\ \boxed{t_{\infty}=2500\text{ s}}$


$\bullet\;\;$ Qual a distância percorrida pelos dois cavalos?

A expressão que fornece a distância percorrida por cada cavalo, em um instante qualquer é dada por

$d(t)=2t$


Como as velocidades dos cavalos são iguais em módulo, a distância percorrida será a mesma para os dois cavalos. Assim, cada cavalo percorrerá

$\left(2\mathrm{\,\dfrac{m}{s}} \right )\cdot (2500\mathrm{\,s})\\ \\ =5000\text{ m}.$


$\bullet\;\;$ A mosca vai poder ficar voando durante tanto tempo quanto os cavalos $A$ e $B$ demorarem a se encontrar, ou seja, $2500\text{ s}.$


$\bullet\;\;$ Os cavalos baterão as cabeças no instante em que se encontrarem, ou seja, em $2500\text{ s}.$


$\bullet\;\;$ A distância percorrida pela mosca, em um instante qualquer é dada por

$d_{M}(t)=5t$


Como a velocidade da mosca é constante, a distância total percorrida pela mosca até o seu trágico fim será

$\left(5\,\mathrm{\dfrac{m}{s}} \right )\cdot 2500\text{ s}\\ \\ =12500\text{ m} =12,5\text{ km}.$

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Curiosidade. É possível parametrizar a trajetória da mosca da seguinte forma.

Seja $x_{M}(t)$ a função que informa a posição da mosca no instante $t.$ Como no instante inicial a mosca está sobre o cavalo $A,$ temos que

$x_{M}(0)=x_{A}(0)\\ \\ x_{M}(0)=5000\text{ m}$


Agora, considere $t_{k}$ o instante em que a mosca encontrará qualquer um dos cavalos pela $k$-ésima vez (sem contar o cavalo $A$ de partida, onde $k=0$). Por exemplo:

a mosca vai encontrar o cavalo $B$ pela primeira vez no instante $t_{1},$

a mosca vai reencontrar o cavalo $A$ pela primeira vez no instante $t_{2},$

a mosca vai encontrar o cavalo $B$ pela segunda vez no instante $t_{3},$

e assim sucessivamente.


Assim, para este problema, assumimos $k=0,\;1,\;2,\;3,\;\ldots.$


Então, podemos montar uma definição recursiva para a trajetória da mosca:

$x_{M}(t)=\left\{\begin{array}{lc} 5000,\;\;\;\;\text{se }t=0\\ \\ (-1)^{k-1}\cdot (5000-2t_{k-1})+(-1)^{k}\cdot 5(t-t_{k-1}),\;\;\text{ se }t_{k-1}\leq t\leq t_{k} \end{array} \right.$

com $k=1,\;2,\;3,\;\ldots$


Utilizando a equação acima, e sabendo que $t_{k}$ é tal que

$x_{M}(t_{k})=(-1)^{k}\cdot (5000-2t_{k})=\\ \\ =(-1)^{k-1}\cdot (5000-2t_{k-1})+(-1)^{k}\cdot 5(t_{k}-t_{k-1})$

(pois a função da trajetória da mosca $x_{M}(t)$ é contínua)


vamos simplificar a última igualdade:

$(-1)^{k}\cdot (5000-2t_{k})=(-1)^{k-1}\cdot (5000-2t_{k-1})+(-1)^{k}\cdot 5(t_{k}-t_{k-1})$


Efetuando as simplificações e isolando $t_{k}$ em função de $t_{k-1},$ chegamos a

$\boxed{t_{k}=\dfrac{10000}{7}+\dfrac{3}{7}\cdot t_{k-1}\,,\;\;\;\;t_{0}=0}$


A equação acima é uma equação a diferenças, linear não-homogênea e com o valor inicial conhecido. A solução para esta equação na forma fechada é

$\boxed{t_{k}=2500\cdot \left[1-\left(\dfrac{3}{7} \right )^{k} \right ]\,,\;\;\;k=0,\;1,\;2,\;3,\;\ldots}$


A fórmula acima nos fornece o valor do instante de cada encontro da mosca com um dos cavalos.


Se passarmos o limite quando $k\to \infty$ na expressão obtida acima, encontraremos justamente o valor máximo que pode ser assumido pelo instante $t,$ ou seja, o valor do instante do encontro entre os dois cavalos e do trágico final da mosca:

$t_{\infty}=\displaystyle\lim_{k\to \infty}t_{k}\\ \\ t_{\infty}=\lim_{k\to \infty}2500\cdot \left[1-\left(\dfrac{3}{7} \right )^{k} \right ]\\ \\ \\ t_{\infty}=2500\text{ s}.$


Valeu?

Bons estudos! :-)