Question

Calcule os seguintes limites quando a sequência convergir, ou diga porque a sequência diverge:
(a) lim (n + 1)! / (n + 2)!, n tende para o infinito.

Answer 1

Vamos usar o teste da razão para mostrar que a sequencia converge:
O teste da razão diz, que se:
$\lim_{n \to \infty} |\frac{a_{n+1}}{a_n} |=L \ \textless \ 1$
Então  a sequencia é absolutamente convergente.

Logo, para a sequencia dada, temos:
$\lim_{n \to \infty} | \frac{ \frac{(n+1+1)!}{(n+1+2)!} }{ \frac{(n+1)!}{(n+2)!} } | \\ \\ =\lim_{n \to \infty} | \frac{ \frac{(n+2)!}{(n+3)!} }{ \frac{(n+1)!}{(n+2)!} } | \\ \\ =\lim_{n \to \infty} | \frac{(n+2)!(n+2)!}{(n+3)!(n+1)!} | \\ \\ =\lim_{n \to \infty} | \frac{(n+2)!(n+2)!}{(n+3)(n+2)!(n+1)!} | \\ \\ =\lim_{n \to \infty} | \frac{(n+2)!}{(n+3)(n+1)!} | \\ \\ =\lim_{n \to \infty} | \frac{(n+2)(n+1)!}{(n+3)(n+1)!} | \\ \\ =\lim_{n \to \infty} | \frac{(n+2)}{(n+3)} |$

Analisando o resultado, temos:
$0\ \textless \ \lim_{n \to \infty} \frac{(n+2)}{(n+3)} \ \textless \ 1$

Logo a sequencia é absolutamente convergente.
Provado isso agora vamos calcular o seu limite:
$\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)!}{(n+2)!} \\ =\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)!}{(n+2)(n+1)!} \\ =\lim_{n \to \infty} \frac{1}{(n+2)} \\ =\lim_{n \to \infty} \frac{ \frac{1}{n} }{1+ \frac{2}{n}}=0$