Question

encontre a soma dos 70 primeiros numeros naturais

Answer 1

Forma 1:

Queremos somar os termos da seguinte progressão aritmética:

$(1,\,2,\,3,\,\ldots,\,69,\,70)$

cujo primeiro termo é $a_{1}=1,$

o último termo é $a_{70}=70,$

e o número de termos é $n=70.$


Logo, a soma é dada por

$S=\dfrac{(a_{1}+a_{n})\cdot n}{2}\\ \\ \\ S=\dfrac{(1+70)\cdot 70}{2}\\ \\ \\ S=\dfrac{71\cdot 70}{2}\\ \\ \\ S=71\cdot 35\\ \\ S=2\,485$


Forma 2:

Note que,

$k=\dfrac{(k+1)\cdot k}{2}-\dfrac{k\cdot (k-1)}{2}$


Dessa forma, temos uma soma telescópica:

$S=1+2+3+\ldots+69+70\\ \\ =\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{70}{k}\\ \\ \\=\sum\limits_{k=1}^{70}{\left[\dfrac{(k+1)\cdot k}{2}-\dfrac{k\cdot (k-1)}{2} \right ]}\\ \\ \\ =\left.\dfrac{k\cdot (k-1)}{2}\right|_{1}^{70+1}\\ \\ \\ =\dfrac{(70+1)\cdot 70}{2}-\dfrac{1\cdot 0}{2}\\ \\ \\ =\dfrac{71\cdot 70}{2}\\ \\ \\ =71\cdot 35\\ \\ =2\,485$