• Matéria: Matemática
  • Autor: monyaraujo01
  • Perguntado 9 anos atrás

5. Calcule f0(x), usando a definição.
a) f(x) = cos(x).
b) f(x) = 20.

Respostas

respondido por: andresccp
1
\boxed{\boxed{f'(x)= \lim_{h \to 0}  \frac{f(x+h)-f(x)}{h}  }}

aplicando isso 
a)
 \lim_{h \to 0}  \frac{cos(x+h)-cos(x)}{h} \\\\  \lim_{h \to 0}  \frac{cos(x)*cos(h)-sen(x)*sen(h)-cos(x)}{h} \\\\  \lim_{h \to 0}   \frac{cos(x)*[cos(h)-1]-sen(x)*sen(h)}{h} \\\\ \boxed{\boxed{ \lim_{h \to 0}  \frac{cos(x)*[cos(h)-1]}{h}  -  \lim_{h \to 0}   \frac{sen(x)*sen(h)}{h} }}

limite fundamental
lim x->0  sen(x)/x = 1

ficando
\boxed{\boxed{ \lim_{h \to 0} \frac{cos(x)*[cos(h)-1]}{h} - sen(x)*1 }}

resolvendo o outro limite
multiplicando pelo conjugado

\lim_{h \to 0} \frac{cos(x)*[cos(h)-1]}{h} \\\\ cos(x)*\lim_{h \to 0} \frac{[cos(h)-1]}{h} \\\\  cos(x)*\lim_{h \to 0} \frac{[cos(h)-1]}{h}  *  \frac{[cos(h)+1]}{[cos(h)+1]} \\\\ cos(x)*\lim_{h \to 0}  \frac{cos^2(h)-1^2}{h*[cos(h)+1]} \\\\  cos(x)*\lim_{h \to 0}  \frac{sen^2(h)}{h*[cos(h)+1]}\\\\ cos(x)*\lim_{h \to 0}  \frac{sen(h)}{h}*  \frac{sen(h)}{[cos(h)+1]}  \\\\ cos(x)*1* \frac{sen(0)}{cos(0)+1}  =0 \\\\\.

então
f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{cos(x)*[cos(h)-1]}{h} - sen(x)*1 \\\\f'(x)=0-sen(x)\\\\f'(x)=-sen(x)

b)
f'(x)= \lim_{h \to 0}  \frac{20-20}{h} \\\\f'(x)= \lim_{h \to 0}  \frac{0}{h} \\\\f'(x)=0

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