Question

As circunferências x²+y²-4x+8y+19=0 e x²+y²+2x+8y+13=0 se tocam em apenas um ponto, que ponto é esse? 

a) P(4,2)

b) P(-2,1)

c) P(0,-3)

d) P(1,-4)

e) P(2,-2)

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Answer 1

$\red{{x}^{2} + {y}^{2} } - 4x \red{+ 8y} + 19 = \red{ {x}^{2} + {y}^{2} } + 2x \red{ + 8y }+ 13 \\ \\ - 4x + 19 = 2x + 13 \\ 19 - 13 = 2x + 4x \\ \\ 6 = 6x \\ \\ x = \dfrac{6}{6} \\ \\ \large \boxed{ \green{x = 1}} \\ \\ Substituíndo \: x = 1 \:em\: \\ {x}^{2} + {y}^{2} - 4x + 8y + 19 = 0 \: temos: \\ \\ {1}^{2} + {y}^{2} - 4(1) + 8y + 19 = 0 \\ \\ {y}^{2} + 8y + 1 - 4 + 19 = 0 \\ \\ {y}^{2} + 8y + 16 = 0 \\ \\ (y + 4) {}^{2} = 0 \\ \\( y + 4)(y + 4) = 0 \\ \\ y + 4 = 0 \\ \\ \Large\green{ y = - 4} \\ \\ \Large\boxed{\bf \green{P(1, - 4)}}\\\Large\boxed{\bf Letra\: d) \:P(1,-4)}\\\Large\boxed{\underline{\blue{\bf 《Bons\: Estudos!》}}}$

Answer 2

Resposta:

Solução:

$\sf \displaystyle \begin{cases} \sf x^2+y^2 -4x+8y+19=0 \quad (I) \\ \sf x^2+y^2+2x+8y+13=0\quad (II) \end{cases}$

Para obter os pontos comuns (se existirem) às duas circunferências, resolvemos o sistema formado pelas as equações:

Multiplicamos a equação I por ( -1 ), temos:

$\sf \displaystyle \underline{ \begin{cases} \sf -x^2- y^2 +4x-8y-19=0 \\ \sf x^2+y^2+2x+8y+13=0 \end{cases} }$

$\sf \displaystyle 6x - 6 = 0$

$\sf \displaystyle 6x = 6$

$\sf \displaystyle x = \dfrac{6}{6}$

$\boldsymbol{ \sf \displaystyle x = 1 }$

Para descobrir o valor de y, devemos substituir o valor de x:

$\sf \displaystyle x^2 +y^2-4x+8y+19 = 0$

$\sf \displaystyle 1^2 +y^2- 4 \cdot 1 +8y+19 = 0$

$\sf \displaystyle 1 +y^2- 4 +8y+19 = 0$

$\sf \displaystyle y^2 + 8y + 1 - 4 + 19 = 0$

$\sf \displaystyle y^{2} +8y + 16 = 0$

$\sf \displaystyle \Delta = 8^2 -\:4\cdot 1 \cdot 16$

$\sf \displaystyle \Delta = 64 - 64$

$\sf \displaystyle \Delta = 0$

$\sf \displaystyle y = \dfrac{-\,b \pm \sqrt{ \Delta } }{2a} = \dfrac{-\,8 \pm \sqrt{ 0 } }{2 \cdot 1} = \dfrac{-\,8 \pm 0 }{2}$

$\sf \displaystyle y_1 = y_2 = \sf \dfrac{-8 + 0}{2} = \dfrac{-8}{2} = -\;4$

Logo, o ponto ( 1, - 4 ) é o único ponto comum ás circunferências. Portanto elas são tangentes.

Alternativa correta é o item D.

Explicação passo-a-passo: