Question

(40 PONTOS) Seja $a_{n}$ uma sequência numérica cujos termos são todos positivos.

Considere que sobre a sequência $a_{n}$ está definido o operador primeira diferença posterior $\Delta:$

$\Delta(a_{n})=a_{n+1}-a_{n}\,,\;\;\;\;n\in\mathbb{N}$


Utilizando a propriedade da diferença do produto entre duas sequências

$\bullet\;\;\Delta(p_{n}\cdot q_{n})=\Delta(p_{n})\cdot q_{n+1}+p_{n}\cdot \Delta(q_{n})$


mostre que

$\Delta(\sqrt{a_{n}})=\dfrac{\Delta(a_{n})}{\sqrt{a_{n+1}}+\sqrt{a_{n}}}$

Answer 1

Hola Lukyo

Bien, no es difícil convencerse que $\Delta(p_n\cdot q_n)=p_{n+1}\cdot q_{n+1}-p_n\cdot q_n$ por ende

           $\Delta(\sqrt[4]{a_n}\cdot \sqrt[4]{a_n})=\sqrt[4]{a_{n+1}}\cdot \sqrt[4]{a_{n+1}}-\sqrt[4]{a_{n}}\cdot\sqrt[4]{a_{n}}\\ \\ \Delta(\sqrt{a_n})=\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_{n}}\\ \\ \\ \boxed{\Delta(\sqrt{a_n})=\dfrac{a_{n+1}-a_n}{\sqrt{a_{n+1}}+\sqrt{a_{n}}}}$