Question

Quantas senhas com 6 algarismos diferentes podemos escrever com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,e 9?​

Answer 1

Resposta: é possível fazer 24 combinações diferentes.

Explicação:

Answer 2

Resposta:

Poderemos escrever 60.480 (sessenta mil quatrocentas e oitenta) senhas, com 6 algarismos diferentes, utilizando os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Explicação passo a passo:

A Tarefa nos propõe determinar o número de senhas, com 6 algarismos diferentes, que podemos escrever com os algarismos de 1 a 9.

Para a resolução do exercício, nós podemos utilizar tanto o Princípio Fundamental da Contagem, quanto a Fórmula do Arranjo Simples.

Iniciemos, utilizando o princípio fundamental da contagem.

Como o exercício indica que não ocorrerá repetição nos algarismos que comporão a senha, nós teremos a seguinte situação:

• 9 opções de números para o algarismo das unidades;
• 8 opções de números para o algarismo das dezenas, haja vista que já utilizamos 1 algarismo na casa das unidades e não pode haver repetição de algarismos;
• 7 opções para o algarismo das centenas, pois já utilizamos 1 algarismo na casa das unidades e 1 algarismo na casa das dezenas;
• 6 opções para o algarismo do milhar, pois já foram utilizados 3 algarismos, anteriormente;
• 5 opções para o algarismo da dezena do milhar, pois já foram usados 4 algarismos, anteriormente;
• 4 opções para o algarismo da centena do milhar, pois já foram utilizados 5 algarismos, anteriormente.

Assim, o número de senhas será dado pela seguinte multiplicação:

$9\times8\times7\times6\times5\times4=72\times42\times20=60.480~senhas$

Uma outra maneira de resolvermos a Tarefa consiste no uso de fórmula de análise combinatória.

Para nós identificarmos qual fórmula utilizar, devemos entender que a ordem dos algarismos é muito importante. Por exemplo, a senha 123456 é diferente da senha 654321, embora tenham sido empregados os mesmos algarismos: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Portanto, a fórmula que iremos empregar é a fórmula do arranjo simples de 9 elementos (algarismos de 1 a 9) para serem agrupados de 6 a 6 (senhas com 6 algarismos diferentes).

Eis o cálculo:

$A_{9,6}=\frac{9!}{(9-6)!}\\A_{9,6}=\frac{9!}{3!}\\A_{9,6}=\frac{9\times8\times7\times6\times5\times4\times3!}{3!}\\A_{9,6}=9\times8\times7\times6\times5\times4\\A_{9,6}=72\times42\times20\\A_{9,6}=60.480~senhas$

Poderemos escrever 60.480 (sessenta mil quatrocentas e oitenta) senhas, com 06 algarismos diferentes, utilizando os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.