aplique O Teorema de Laplace para Calcular o determinante da matriz b, indicada abaixo.
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Resposta:
Explicação passo-a-passo:
Olá, bom dia.
Para resolvermos este determinante utilizando o Teorema de Laplace, devemos relembrar algumas propriedades de cofatores e matrizes de ordem 3.
Seja a matriz de ordem 44 : \begin{gathered}B=\begin{bmatrix}b_{ij}\\\end{bmatrix}_{4\times4}\end{gathered}
B=[
b
ij
]
4×4
. Seu determinante pode ser calculado pela fórmula:
\det B=\displaystyle{\sum_{i,j=1}^4 b_{ij}\cdot B_{ij} , tal que B_{ij} é o cofator do elemento b_{ij} .
Devemos escolher uma fila específica, podendo ser a que apresenta o maior número de zeros, pois como se trata do somatório de um produto, isto reduziria a quantidade de cálculos
Então, escolhendo a quarta coluna, teremos:
\det B=\displaystyle{\sum_{i=1}^4 b_{i4}\cdot B_{i4}
Expandindo o somatório, teremos
\det B= b_{14}\cdot B_{14}+b_{24}\cdot B_{24}+b_{34}\cdot B_{34}+b_{44}\cdot B_{44}detB=b
14
⋅B
14
+b
24
⋅B
24
+b
34
⋅B
34
+b
44
⋅B
44
Substituindo os elementos desta fila, teremos:
\begin{gathered}\det B= 0\cdot B_{14}+1\cdot B_{24}+1\cdot B_{34}+5\cdot B_{44}\\\\\\ \det B= B_{24}+B_{34}+5\cdot B_{44}\end{gathered}
detB=0⋅B
14
+1⋅B
24
+1⋅B
34
+5⋅B
44
detB=B
24
+B
34
+5⋅B
44
Então, para calcularmos os cofatores, utilizamos a fórmula:
B_{ij}=(-1)^{i+j}\cdot\det D_{ij}B
ij
=(−1)
i+j
⋅detD
ij
, tal que D_{ij}D
ij
é a matriz formada pelos elementos que restam após eliminarmos a linha e a coluna do elemento escolhido.
Calculando os cofatores, teremos
\begin{gathered}B_{24}=(-1)^{2+4}\cdot\begin{vmatrix}4&5&-3\\1&-3&2\\0&2&-2\\\end{vmatrix}\end{gathered}
B
24
=(−1)
2+4
⋅
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
4
1
0
5
−3
2
−3
2
−2
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
Para resolvermos o determinante, utilizamos a Regra de Sarrus. Consiste em replicarmos as duas primeiras colunas à direita do determinante e calcularmos a diferença entre a soma dos produtos dos elementos das diagonais principais e a soma dos produtos dos elementos das diagonais secundárias.
Replicando as colunas, temos
\begin{gathered}B_{24}=(-1)^{2+4}\cdot\left|\begin{matrix}4&5&-3\\1&-3&2\\0&2&-2\end{matrix}\right.\left|\begin{matrix}4&5\\1&-3\\0&2\end{matrix}\right.\end{gathered}
B
24
=(−1)
2+4
⋅
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
4
1
0
5
−3
2
−3
2
−2
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
4
1
0
5
−3
2
Aplicando a regra de Sarrus
B_{24}=(-1)^{2+4}\cdot(4\cdot(-3)\cdot (-2)+5\cdot2\cdot0+(-3)\cdot1\cdot2-(5\cdot1\cdot(-2)+4\cdot2\cdot2+(-3)\cdot(-3)\cdot0))B
24
=(−1)
2+4
⋅(4⋅(−3)⋅(−2)+5⋅2⋅0+(−3)⋅1⋅2−(5⋅1⋅(−2)+4⋅2⋅2+(−3)⋅(−3)⋅0))
Multiplique os valores
B_{24}=(-1)^{2+4}\cdot(24-6-(-10+16))B
24
=(−1)
2+4
⋅(24−6−(−10+16))
Some os valores
B_{24}=(-1)^{6}\cdot12B
24
=(−1)
6
⋅12
Sabendo que a potência de expoente par e base negativa resulta em um número positivo, temos
B_{24}=12B
24
=12
Faça o mesmo para o restante dos cofatores
\begin{gathered}B_{34}=(-1)^{3+4}\cdot \begin{vmatrix}4&5&-3\\2&-1&3\\0&2&-2\\\end{vmatrix}= 8\\\\\\ B_{44}=(-1)^{4+4}\cdot \begin{vmatrix}4&5&-3\\2&-1&3\\1&-3&2\\\end{vmatrix}= 38\end{gathered}
B
34
=(−1)
3+4
⋅
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
4
2
0
5
−1
2
−3
3
−2
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=8
B
44
=(−1)
4+4
⋅
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
4
2
1
5
−1
−3
−3
3
2
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=38
Substituindo estes valores na fórmula do determinante, teremos
\det B=12+8+5\cdot 38detB=12+8+5⋅38
Multiplique e some os valores
\det B=210detB=210
Este é o valor do determinante desta matriz.