Question

Um fazendeiro do interior de Goiás iniciou a criação de ovelhas há cinco anos e agora quer vender todos o seu rebanho. Começando sua criação com 20 ovelhas, após um ano já possuía 80 animais e, ao final do segundo ano, já era dono de 320 espécimes. Ele deseja vender as suas ovelhas ao preço de RS200,00 cada uma. Se o rebanho do fazendeiro continuou crescendo na mesma progressão, qual será o valor, em milhares de reais, que ele arrecadará com a venda da criação ao final do 5^{o} ano?

Answer 1

O fazendeiro irá arrecadar com a venda de todas as ovelhas R$ 1.364.000,00.

Progressão Geométrica:

• É uma sequência numérica, onde o segundo termo/qualquer termo após o segundo é obtido através da multiplicação do termo anterior com uma constante (q).

Pelo enunciado podemos observar que o rebanho de ovelhas aumenta em forma de uma P.G de razão (q) igual a 4.

$\begin{array}{l}\boxed{\sf \large{q =\dfrac{a_2}{a_1}}}\\\\\\\sf q=\dfrac{80}{20}=4\end{array}$

• Primeiro devemos encontrar a quantidade total de ovelhas que haverá na fazenda em 5 anos, para isso usaremos a fórmula da soma dos termos da P.G.

$\begin{array}{l}\sf \boxed{\boxed{ \large{ \sf S_n=\dfrac{a_1~.~(q^n-1)}{q-1}}}}\\\\\\\sf \Rightarrow S_5=\dfrac{20~.~(4^5-1)}{4-1}\\\\\sf \Rightarrow S_5=\dfrac{20~.~(1024-1)}{4-1}\\\\\sf \Rightarrow S_5=\dfrac{20~.~1023}{4-1}\\\\\sf \Rightarrow S_5=\dfrac{20~.~1023}{3}\\\\\sf \Rightarrow S_5=20~.~341\\\\\sf\Rightarrow S_5=6820\end{array}$

Em 5 anos haverá um total de 6820 ovelhas na fazenda, sendo que cada ovelha será vendida por R$ 200,00 o total arrecadado pelo fazendeiro será:

$\begin{array}{l}\sf \dfrac{\cancel{1}}{6820}=\dfrac{200}{x}\\\\\\\sf \Rightarrow x=6820~.~200\\\\\red{\sf\Rightarrow x=1364000}\end{array}$

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$\red{\boxed{\mathbb{ATT: SENHOR~~SOARES}}}$