Question

Verifique se é linear a transformação f : R³ → R² definida por f(x, y, z) = (x − 2y + 1, 3x + 4y) é linear:

Answer 1

Resposta:

A transformação não é linear.

Explicação passo-a-passo:

• Vamos supor dois espaços vetoriais $u$ e $v$ quaisquer:

$u =(x,y,z)$

$v=(x',y',z')$

• Uma transformação linear deve obedecer às seguintes propriedades:

a) $T(u+v)=T(u)+T(v)$

b) $T(\alpha u) = \alpha T(u)$

• Vamos testar a propriedade a) na transformação dada:

$T[(x,y,z)+(x',y',z')]=T(x,y,z)+T(x',y',z')\\\\T(x+x',y+y',z+z') = (x-2y+1,3x+4y)+(x'-2y'+1,3x'+4y')\\\\((x+x')-2(y+y')+1,3(x+x')+4(y+y')) = ((x-2y+1)+(x'-2y'+1),((3x+4y)+(3x'+4y'))\\\\((x+x')-2(y+y')+1,3(x+x')+4(y+y')) \neq ((x+x')-2(y+y')+2,(3(x+x')+4(y+y'))$

Somente com a propriedade a) não sendo satisfeita já podemos concluir que a transformação não é linear.