Question

8. Utilizando o procedimento de completar quadrados, podemos, por meio de uma equação do 2º grau em x e y, obter a equação reduzida de uma elipse. Escreva a equação reduzida das elipses cujas equações são:

a) 9x² + 4y² - 54x - 32y + 109 = 0

b) 4x² + y² - 40x - 12y + 120 = 0

Answer 1

Usando a equação reduzida da elipse e completando os quadrados, obtivemos as seguintes equações:

$\to\ \boxed{\boldsymbol{\dfrac{(x-3)^{2} }{2^{2} } +\dfrac{(y-4)^{2} }{3^{2} } =1}}\\\\\\\\\to\ \boxed{\boldsymbol{\dfrac{(x-5)^{2} }{2^{2} } +\dfrac{(y-6)^{2} }{4^{2} } =1}}$

A seguir, vamos explicar como chegamos a isso:

Lembre-se de que as equações reduzidas de uma elipse são dadas por:

Elipse horizontal:

$\boldsymbol{\dfrac{(x-h)^{2} }{a^{2} } +\dfrac{(y-k)^{2} }{b^{2} } =1}$

Elipse vertical:

$\boldsymbol{\dfrac{(x-h)^{2} }{b^{2} } +\dfrac{(y-k)^{2} }{a^{2} } =1}$

Em ambos os casos, temos (ver imagem em anexo):

• Centro (h; k)

• a = Distância do centro aos vértices V1 e V2 localizados no eixo maior

• b = Distância do centro aos vértices V3 e V4 localizados no eixo menor

Quando nos é dada a equação geral de uma elipse da forma ax² + by² + cx + dy + e = 0 e queremos convertê-la nas equações reduzidas mencionadas acima, devemos completar os quadrados com base nestes binômios quadrados:

$\boldsymbol{(a+b)^{2} =a^{2} +2ab+b^{2}} \\\\\\\boldsymbol{(a-b)^{2} =a^{2} -2ab+b^{2} }$

Com base nisso, completamos os quadrados e despois encontramos a equação da elipse reduzida os problemas que nos fornecem:

Problema "a"

$9x^{2} +4y^{2} -54x-32y+109=0\\\\\\\\\textsf{Separamos as variaveis iguais:} \\\\\\\ [9x^{2} -54x]+[4y^{2} -32y] =-109\\\\\\\\\textsf{Completamos quadrados:}$

$[(3x-9)^{2} -81]+[(2y-8)^{2} -64]=-109\\\\\\\\\textsf{Passamos os numeros a dereita:}\\\\\\(3x-9)^{2} +(2y-8)^{2} =-109+81+64\\\\\\(3x-9)^{2} +(2y-8)^{2} =36\\\\\\\\\textsf{Resolvemos:}\\\\\\9x^{2} -54x+81+4y^{2} -32y+64=36\\\\\\\\\textsf{Homogeneizamos dividindo tudo por 36:}$

$\dfrac{9x^{2} -54x+81}{36} +\dfrac{4y^{2} -32y+64}{36} =\dfrac{36}{36} \\\\\\\\\dfrac{x^{2} -6x+9}{4} +\dfrac{y^{2} -8y+16}{9} =1\\\\\\\\\to\ \boxed{\boldsymbol{\dfrac{(x-3)^{2} }{2^{2} } +\dfrac{(y-4)^{2} }{3^{2} } =1}}$

Problema "b"

$4x^{2} +y^{2} -40x-12y+120=0\\\\\\\\\textsf{Separamos as variaveis iguais:} \\\\\\\ [4x^{2} -40x]+[y^{2}-12y] =-120\\\\\\\\\textsf{Completamos quadrados:}$

$[(2x-10)^{2} -100]+[(y-6)^{2} -36]=-120\\\\\\\\\textsf{Passamos os numeros a dereita:}\\\\\\(2x-10)^{2} +(y-6)^{2} =-120+100+36\\\\\\(2x-10)^{2} +(y-6)^{2} =16\\\\\\\\\textsf{Resolvemos:}\\\\\\4x^{2} -40x+100+y^{2} -12y+36=16\\\\\\\\\textsf{Homogeneizamos dividindo tudo por 16:}$

$\dfrac{4x^{2} -40x+100}{16} +\dfrac{y^{2} -12y+36}{16} =\dfrac{16}{16} \\\\\\\\\dfrac{x^{2} -10x+25}{4} +\dfrac{y^{2} -12y+36}{16} =1\\\\\\\\\to\ \boxed{\boldsymbol{\dfrac{(x-5)^{2} }{2^{2} } +\dfrac{(y-6)^{2} }{4^{2} } =1}}$

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