Question

se o polinomio P(x)=x³+mx²-1 é divisivel por x²+x-1, então m é igual a
a)-3
b)-2
c)-1
d)1
e)2

Answer 1

Para um polinômio ser divisível por outro, as raízes do dividendo devem ser comuns às do divisor

As raízes do divisor são:

$x'=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1-\sqrt{1-4(-1)}}{2.1}=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\\\\x'=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1+\sqrt{1-4(-1)}}{2.1}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$

$P(\frac{-1-\sqrt{5}}{2})=(\frac{-1-\sqrt{5}}{2})^3+m(\frac{-1-\sqrt{5}}{2})^2-1=0\\\\m=\frac{1-(\frac{-1-\sqrt{5}}{2})}{(\frac{-1-\sqrt{5}}{2})^2}\\\\m=\frac{\frac{2+1+\sqrt{5}}{2}}{\frac{1+2\sqrt{5}+5}{4}}\\\\m=\frac{2(3+\sqrt{5})}{6+2\sqrt{5}}\\\\m=\frac{3+\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}\\\\m=1$

Testando com a outra raiz você chegará ao mesmo resultado

$P(\frac{-1+\sqrt{5}}{2})=(\frac{-1+\sqrt{5}}{2})^3+m(\frac{-1+\sqrt{5}}{2})^2-1=0\\\\m=\frac{1-(\frac{-1+\sqrt{5}}{2})}{(\frac{-1+\sqrt{5}}{2})^2}\\\\m=\frac{\frac{2+1-\sqrt{5}}{2}}{\frac{1-2\sqrt{5}+5}{4}}\\\\m=\frac{2(3-\sqrt{5})}{6-2\sqrt{5}}\\\\m=\frac{3-\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}\\\\m=1$