Uma bola de canhão de brinquedo é lançada de um canhão no topo de uma plataforma. A equação $h(t) =- 5t^{2} + 14t+2$ dá a altura h, em metros, da bola t segundos depois de ser lançada.

a) Determine se a bola atinge a altura de 14 metros. Explique sua resposta.

b) Quanto tempo a bola está no ar?

Respostas

respondido por: Snog

Resposta:

a) A bola não atinge a altura de 14 metros.

b) A bola está no ar por $\frac{7}{5}+\frac{\sqrt{59}}{5}$ ou 2,94 segundos.

Explicação passo-a-passo:

Parte A

Recebemos a equação quadrática ${h(t)=-5t^2 + 14t + 2}$ .

Para resolver a Parte A, precisamos encontrar o vértice da equação quadrática.

A função pai de uma função quadrática é $f(x) =ax^2+bx+c$ .

A coordenada x do vértice é encontrada com a fórmula $\frac{-b}{2a}$ .

A coordenada y do vértice é encontrada definindo $f(x)$ igual a 0 e resolvendo para a variável.

Podemos definir nossas variáveis primeiro para que possam ser substituídas na equação. Usamos a função pai e a alinhamos com nossa equação para encontrar os valores que se alinham com cada variável.

$a = -5$
$b = 14$
$c = 2$

Agora, podemos usar a fórmula $\frac{-b}{2a}$ para resolver para a coordenada x do vértice.

$\begin{gathered}\displaystyle{\frac{-(14)}{2(-5)}}\\\\\frac{-14}{-10}\\\\\frac{14}{10}\\\\x=\frac{7}{5}\end{gathered}$

Então, precisamos completar o quadrado para resolver para a coordenada y.

$\begin{gathered}\displaystyle{h(t) = -5\big(t^2 - \frac{14}{5}t\big) + 2}\\\\\big(\frac{b}{2}\big)^2 = \big(\frac{14}{5} \times \frac{1}{2}\big)^2 = \frac{49}{25}\\\\h(t) + \big(\frac{49}{5}\big)\big(-5\big) = -5\big(t^2 - \frac{14}{5}t + (\frac{49}{5}\big)\big) + 2\\\\h(t) - \frac{49}{5} = -5\big(t^2 - \frac{14}{5}t + \frac{49}{25}\big) + 2\\\\h(t) = -5(t^2 - \frac{14}{5}t + \frac{49}{25}) + 2 + \frac{49}{5}\\\\h(t) = -5\big(t - \frac{7}{5}\big)^2 + \frac{59}{5}\end{gathered}$

A equação que acabamos de resolver ao completar o quadrado nos dá a equação na forma de vértice $- a(x-h)^2+k$ , onde (h, k) é o vértice. Portanto, nossa coordenada x já foi resolvida como $\frac{7}{2}$ e determinamos que nossa coordenada y é $\frac{59}{5}$ . Isso pode ser convertido em um decimal para obter 11,8, que podemos ver é menor que 14. Portanto, a bola não atinge uma altura de 14 metros.

Parte B

Conosco resolvendo o vértice da equação quadrática, agora precisamos resolver por aproximadamente quantos segundos a bola está no ar. Dada a coordenada x do vértice, podemos inserir esse valor para a variável x na equação quadrática (neste caso, a variável é t).

Vou resolver isso completando o quadrado. A outra resposta mostra como resolver isso usando a fórmula quadrática.

$\begin{gathered}\displaystyle{h(t) = - 5t^2 + 14t + 2\\\\0= -5t^2 + 14t + 2}\\\\ - 5t^2 + 14t + 2 = 0\\\\t^2 - \frac{14}{5}t - \frac{2}{5} = 0\\\\t^2 - \frac{14}{5} = \frac{2}{5}\\\\t^2 - \frac{14}{5}t + \frac{49}{25} = \frac{2}{5} + \frac{49}{25}\\\\\big(t - \frac{7}{5}\big)^2 = \frac{2}{5} + \frac{49}{25}\\\\\sqrt{\big(t - \frac{7}{5}\big)^2} = \sqrt{\frac{2}{5} + \frac{49}{25}}\\\\t - \frac{7}{5} = \pm\frac{\sqrt{59}}{5}\\\\t = \frac{7}{5}\pm\frac{\sqrt{59}}{5}\end{gathered}$

Ao simplificar $\frac{7}{5}\pm\frac{\sqrt{59}}{5}$ , podemos estimar aproximadamente o valor de $\sqrt{59}$ verificando quadrados perfeitos. Uma lista dos dez primeiros é fornecida.

$1 ^ 2 = 1$
$2^2=4$
$3 ^ 2 = 9$
$4 ^ 2 = 16$
$5 ^ 2 = 25$
$6 ^ 2 = 36$
$7 ^ 2 = 49$
$8 ^ 2 = 64$
$9 ^ 2 = 81$
$10 ^ 2 = 100$

Como as raízes quadradas e o quadrado de um valor funcionam inversamente, podemos ver se pegarmos a raiz quadrada de 64, por exemplo, que obteremos o valor de 8.

Portanto, com essas informações, podemos estimar o valor do qual 59 ficará entre e ver se precisamos avaliar mais a raiz quadrada ou podemos avaliar com segurança a função e ver se obtemos um valor negativo ou positivo.

Usando os valores acima, o valor da raiz quadrada cai aproximadamente entre 7 e 8 quando avaliado.

Portanto, sabemos se subtrairmos 7 ou 8 de $\frac{7}{5}$ , não podemos ter um valor maior ou igual a 7 como numerador ou obteremos um valor negativo, e o tempo não existe nos negativos. Portanto, sabemos que devemos adicionar, não subtrair.