Question

1)
Sejam U comma plus comma. e V comma plus comma. espaços vetoriais e S e T transformações lineares com S colon U rightwards arrow V comma T colon V rightwards arrow U. S e T são transformações inversas se satisfazem as condições: S ring operator T equals I (identidade no espaço V) e T ring operator S equals I (identidade no espaço U). Dizemos que T é a transformação inversa de S e que ambas as transformações são inversíveis.



Considere a transformação projeção P y colon straight real numbers squared rightwards arrow straight real numbers squaredsobre o eixo y que a cada vetor u equals left parenthesis x comma y right parenthesis do plano associa o vetor v equals left parenthesis 0 comma y right parenthesis.



I - P y é uma transformação linear que não é inversível



PORQUE



II - P ynão é bijetora.

A respeito dessas asserções, assinale a alternativa correta.

Alternativas:

a)
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa da I.

b)
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa da I.

c)
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.

d)
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.

e)
As asserções I e II são proposições falsas.

Alternativa assinalada
2)
Sejam U comma plus comma. e V comma plus comma., W comma plus comma. espaços vetoriais no corpo K e as transformações lineares T colon V rightwards arrow U e S colon U rightwards arrow W.



Agora, complete as lacunas que se seguem.



Define-se a operação ____________ de transformações lineares à transformação linear open parentheses S ring operator T close parentheses open parentheses v close parentheses equals S open parentheses T open parentheses v close parentheses close parentheses que a cada vetor v element of V associa vetores em W fazendo S open parentheses T open parentheses v close parentheses close parentheses.



Como open parentheses S ring operator T close parentheses open parentheses v subscript 1 plus v subscript 2 close parentheses equals open parentheses S ring operator T close parentheses open parentheses v subscript 1 close parentheses plus open parentheses S ring operator T close parentheses open parentheses v subscript 2 close parentheses e open parentheses S ring operator T close parentheses open parentheses alpha v close parentheses equals alpha open parentheses S ring operator T close parentheses open parentheses v close parentheses a composição de transformações lineares é ____________. Sejam as transformações lineares T colon V rightwards arrow U comma S colon U rightwards arrow V tais que S ring operator T equals I (identidade no espaço V) e T ring operator S equals I (identidade no espaço U). Dizemos então que a transformação T é ____________ de S.



Se uma transformação linear T é invertível então sua inversa é ____________.

Agora, assinale a alternativa que preenche corretamente as lacunas.

Alternativas:

a)
inversão; bi-linear; recíproca; nula.

b)
cancelamento; multilinear; complementar; não-nula.

c)
multiplicação; quadrática; hermitiniana; injetora.

d)
composição; linear; inversa; única.

e)
adição; aditiva; contrária; sobrejetora.

Alternativa assinalada
3)




.

Alternativas:

a)


Alternativa assinalada
b)


c)


d)


e)


4)
Seja T colon V rightwards arrow U uma transformação linear. Do teorema do Núcleo e da Imagem temos que, d i m V equals d i m left parenthesis N left parenthesis T right parenthesis right parenthesis plus d i m left parenthesis I m left parenthesis T right parenthesis right parenthesis. Considere a transformação linear T colon straight real numbers cubed rightwards arrow straight real numbers to the power of 4 tal que sua imagem seja gerada por open curly brackets left parenthesis 2 comma 1 comma 1 comma 1 right parenthesis comma left parenthesis 0 comma 2 comma 1 comma 0 right parenthesis close curly brackets. Suponha que o núcleo de T seja gerado pelo vetor left parenthesis 0 comma 0 comma 1 right parenthesis.

Agora, assinale a alternativa que apresenta uma transformação linear que atende ao solicitado anterior.

Alternativas:

a)
T left parenthesis x comma y comma z right parenthesis equals left parenthesis negative 2 x comma x minus 2 y comma x minus 2 y comma 2 x right parenthesis

b)
T left parenthesis x comma y comma z right parenthesis equals left parenthesis 2 x comma x plus 2 y comma x plus y comma x right parenthesis

c)
T left parenthesis x comma y comma z right parenthesis equals left parenthesis negative 2 z comma z minus 2 y comma z plus y comma z right parenthesis

d)
T left parenthesis x comma y comma z right parenthesis equals left parenthesis 2 y comma x plus 2 z comma x plus z comma x right parenthesis

Alternativa assinalada
e)
T left parenthesis x comma y comma z right parenthesis equals left parenthesis 2 y comma z plus 2 y comma x plus y comma z right parenthesis

Answer 1

Resposta:

Aap4 - Álgebra Linear e Vetorial

1) E

2) D

3) D

4) B

Explicação passo-a-passo:

Answer 2

Adg3 - Álgebra Linear e Vetorial

1 d) Associativa, comutativa, elemento neutro, simetria.

2 b ) As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa da I.

3 c) Adição, multiplicação por escalar, neutro.

4 a) As asserções I e II são proposições verdadeiras e a II é uma justificativa da I.