Question

Se x é um número real, resolva a equação exponencial 32x + 3x + 1 = 18

x = -1
x = 3
x = 0
x = 2
x = 1

Answer 1

Equação :

A solução da equação exponencial é x= 1.

A solução da equação exponencial 32x+3x+1=183^{2x}+3^{x+1}=183

2x

+3

x+1

=18 é x = 1.

Temos que a equação exponencial é 32x+3x+1=183^{2x}+3^{x+1}=183

2x

+3

x+1

=18 .

Perceba que podemos reescrever a equação exponencial da seguinte maneira:

(3x)2+3x.3=18(3^x)^2 + 3^x.3=18(3

x

)

2

+3

x

.3=18 .

Vamos fazer a substituição y = 3ˣ. Assim, obteremos a seguinte equação do segundo grau:

y² + 3y - 18 = 0.

Para resolver a equação do segundo grau acima, vamos utilizar a fórmula de Bhaskara:

Δ = 3² - 4.1.(-18)

Δ = 9 + 72

Δ = 81

Como Δ > 0, então a equação do segundo grau possui duas soluções reais positivas.

y=−3+−812y=\frac{-3+-\sqrt{81}}{2}y=

2

−3+−

81

y=−3+−92y=\frac{-3+-9}{2}y=

2

−3+−9

y′=−3+92=3y'=\frac{-3+9}{2}=3y

′

=

2

−3+9

=3

y′′=−3−92=−6y''=\frac{-3-9}{2}=-6y

′′

=

2

−3−9

=−6 .

Agora, vamos testar os dois valores de y na substituição feita inicialmente.

Se y = 3, então: 3 = 3ˣ ∴ x = 1.

Se y = -6, então: -6 = 3ˣ. Neste caso, não temos solução.

Portanto, o conjunto solução da equação exponencial é S = {1}.

Answer 2

a) x = -1

$32( - 1) + 3( - 1) + 1 = 18 \\ - 32 - 3 + 1 = 18 \\ - 35 + 1 = 18 \\ - 34 < 18$

b) x = 3

$32(3) + 3(3) + 1 = 18 \\ 96 + 9 + 1 = 18 \\ 105 + 1 = 18 \\ 106 > 18$

c) x = 0

$32(0) + 3(0) + 1 = 18 \\0 + 1 = 18 \\ + 1 < 18$

d) x = 2

$32(2) + 3(2) + 1 = 18 \\ 64 + 6 + 1 = 18 \\ 70 + 1 = 18 \\ 71 > 18$

e) x = 1

$32(1) + 3(1) + 1 = 18 \\ 32 + 3 + 1 = 18 \\ 32 + 4 = 18 \\ 36 > 18$

legenda:

$\red{ > (maior \: que)} \\ \\ \red{< (menor \: que)}$