Question

Lim (12^x - 3^x) /3x sendo que x tende a 0​

Answer 1

Temos o seguinte limite:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \lim_{x\to0} \frac{12^x - 3^x}{3x}$

Para resolver esse limite, vamos tentar fazer com que ele chega em um formato próximo do limite fundamental dada por:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \lim_{x\to0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln(a)$

Primeiro vamos colocar o 3^x em evidência:

$\lim_{x\to0} \frac{12^x - 3^x}{3x} \: \to \:\lim_{x\to0} \frac{3 {}^{x}}{3}. \frac{ \left( \frac{12 {}^{x}}{3 {}^{x} } - 1 \right)}{x}$

Agora vamos usar a propriedade de multiplicação dos limites, que nos diz que o limite da multiplicação é igual a multiplicação dos limites:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \lim_{x\to0} \frac{3 {}^{x} }{3} \: . \: \lim_{x\to0} \frac{ \left( \frac{12{}^{x} }{ {3}^{x} } - 1 \right)}{x}$

Através das regras de potências, sabemos que:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \frac{a {}^{x} }{b {}^{x} } = \left(\frac{a}{b} \right)^{x}$

Aplicando essa propriedade, temos que:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \lim_{x\to0} \frac{3 {}^{x} }{3} \: . \: \lim_{x\to0} \frac{ \left( \left(\frac{12 }{ 3 } \right) {}^{x} - 1 \right)}{x}$

Observe que chegamos ao limite fundamental, e sabemos que ele é igual ao logarítmo natural de "a", que no caso é 12/3:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \lim_{x\to0} \frac{3 {}^{x} }{3} \: . \: \ln \left( \frac{12}{3} \right) \: \to \:\lim_{x\to0} \frac{3 {}^{x} }{3} \: . \: \ln (4)\\ \:$

Por fim, basta substituir o valor a qual o "x" tende:

$\frac{3 {}^{0} }{3} . \ln(4) \: \to \: \boxed{\frac{ \ln(4)}{3}}$

Espero ter ajudado