Question

Calcule a integral indefinida

Answer 1

Usando a técnica de integração por substituição

$\longrightarrow\Large\boxed{\displaystyle\int\dfrac{18\,tg^2x\cdot sec^2x}{2+tg^2x}dx=6\ln|2+tg^3x|+C}$

Seja a integral indefinida

$\displaystyle\int\dfrac{18\,tg^2x\cdot sec^2x}{2+tg^2x}dx$

Utilize a seguinte substituição

$u=2+tg^3x$

Note que $tg^3x$ é uma função composta, então para encontrar o dx vamos precisar utilizar a regra da cadeia, segue que

$du=0+3tg^{3-1}\cdot(tg\,x)'\,dx\\\\\\du=3tg^2x\cdot sec^2x\,dx\\\\\\\dfrac{du}{3}=tg^2x\cdot sec^2\,dx$

Substituindo na integral temos

$\displaystyle\int\dfrac{18\,\overbrace{tg^2x\cdot sec^2x\,dx}^{\frac{du}{3}}}{\underbrace{2+tg^2x}_{u}}=\displaystyle\int\dfrac{18du}{3u}=6\int\dfrac{du}{u}du=6\ln|u|+C$

Voltando a variável x com $u=2+tg^3x$, temos

$\displaystyle\int\dfrac{18\,tg^2x\cdot sec^2x}{2+tg^2x}dx=6\ln|2+tg^3x|+C$

Para saber mais: https://brainly.com.br/tarefa/25314026