Question

Os lados de um triângulo retângulo formam uma progressão aritmética. Sabendo que o perímetro do
triângulo vale 36cm, a medida da hipotenusa desse triângulo é igual a:
A) 12 cm.
B) 16 cm.
C) 15 cm.
D) 9 cm
qual formula eu uso para encontrar a resposta?

Answer 1

Uma P.A. é uma sequência de número em que todos eles (menos o primeiro) é a soma do anterior com uma razão (r).

a1 = a1
a2 = a1 + r
a3 = a1 + r + r

Também podemos representar como:
a1 = a - r
a2 = a
a3 = a + r

O triângulo tem três lados, então nossa P.A. tem três termos;
Perímetro é a soma de todos os lados do triângulo;
Sendo cada lado do Δ um termo da nossa P.A., a soma dos termos dá 36.

Ou seja:
a - r + a + a + r = 36
a + a + a = 36
3a  = 36
a = 36/3 = 12

Então substituímos e nossos lados ficam assim:

a1 = 12 - r
a2 = 12
a3 = 12 + r

Como a hipotenusa é o maior lado do Δ e temos os valores dos lados, vamos fazer Pitágoras e descobrir a razão da P.A.:

hipotenusa² = catetox² + catetoy²
(12 + r)² = 12² + (12 - r)²
12² + 24r + r² = 12² + 12² - 24r + r²
Os termos em negrito vão se cancelar de trocarmos de lado.
24r = 12² - 24r
24r + 24r = 12²
48r = 144
r = 144/48 = 3

Substituindo:
a1 = 12 - 3 = 9
a2 = 12
a3 = 12 + 3 = 15

Hipotenusa = 15 :)