Question

Comutação de matriz, alguém pode ajudar ?

Answer 1

Boa noite!

Solução!

Veja que o exercicio pede para verificar se as matrizes se comutam,com isso vamos aplicar a propriedade comutativa e verificar.

Se A e B são tais que A.B = B.A, então dizemos que as matrizes comutam.

Propriedade comutativa.

A.B = B.A

$A=\begin{vmatrix} 1 & -1\\ 0& ~~2 \end{vmatrix}\\\\\\ B=\begin{vmatrix} 1 & -2\\ 0& ~~3 \end{vmatrix}$

$\begin{vmatrix} 1 & -1\\ 0& ~~2 \end{vmatrix}\times \begin{vmatrix} 1 & -2\\ 0& ~~3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & -2\\ 0& ~~3 \end{vmatrix}\times \begin{vmatrix} 1 & -1\\ 0& ~~2 \end{vmatrix} \\\\\\ \begin{vmatrix} (1\times1)+(-1\times 0) \\ (-2\times0)+ (2\times3)\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} (1\times1)+(-2 \times0) \\ (0 \times-1)+(3 \times2) \end{vmatrix}$

$\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 6 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0& 6 \end{vmatrix}$

Conclusão com o uso da propriedade comutativa podemos ver que as matrizes A e B se comutam.

Boa tarde!
Bons estudos!

Answer 2

As matrizes A e B comutam, ou seja, a verificação feita provou que a comutação é válida.

Para responder a essa questão deve-se saber que, dadas duas matrizes A e B, dizer que elas comutam é o mesmo que dizer que A x B = B x A, ou seja, seu produto independe da ordem dos fatores.

Dessa forma, para verificar a comutação, basta substituir os valores de A e B na equação A x B = B x A e analisar se a igualdade é verdadeira.

A x B = B x A

$\left[\begin{array}{ccc}1&-1\\0&2\end{array}\right]$ x $\left[\begin{array}{ccc}1&-2\\0&3\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{ccc}1&-2\\0&3\end{array}\right]$ x $\left[\begin{array}{ccc}1&-1\\0&2\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{ccc}1.1+(-1).0&1.(-2)+(-1).3\\0.1+2.0&0.(-2)+2.3\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{ccc}1.1+(-2).0&1.(-1)+(-2).2\\0.1+3.0&0.(-1)+3.2\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{ccc}1&-5\\0&6\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{ccc}1&-5\\0&6\end{array}\right]$

Como a igualdade foi comprovada, podemos dizer que as matrizes A e B comutam.

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