Matéria: Matemática
Autor: jgranoleca
Perguntado 4 anos atrás

Qual o período e a imagem da função f(x) = 1 + 2.cos(3x)?

Respostas

respondido por: Nasgovaskov

Na função cosseno f(x) = 1 + 2 ⋅ cos(x) seu período é P = 2π/3 e seu conjunto imagem é Im(f) = [– 1 , 3].

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Inicialmente consideremos a função cosseno no formato:

$\!\!\!\!\Large\boldsymbol{\begin{array}{l}f(x)=m\cdot cos(nx+o)+p\end{array}}\\\\$

Sabemos que as funções trigonométricas são periódicas, pois tomando a função elementar $\boldsymbol{\!f(x)=cos(x)\!}$ e analisando o seu gráfico (vide 2º anexo), percebemos que há uma repetição sucessiva da senoide (que é o nome dado à curva desse gráfico). Assim, quando a senoide atinge o valor máximo, ela desce atingindo o valor mínimo, e quando chega novamente no valor máximo ela repete tudo de novo (essa repetição ocorre infinitamente, tanto no lado negativo quanto no positivo). Dessa forma, o período da função $\boldsymbol{\!f(x)=cos(x)\!}$ é $\boldsymbol{\!2\pi\!}$ , pois a cada 2π a curva faz o mesmo movimento. Mas, para determinarmos o período de uma função cosseno diferente, ao invés de construirmos o gráfico e tudo mais podemos simplesmente calcular 2π dividido pelo módulo do coeficiente n: $\boldsymbol{\!P=2\pi/|n|\!}$ , pois esse coeficiente é o que define o período (é a mesma ideia para o período da função seno).

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Falando mais sobre a função elementar $\boldsymbol{\!f(x)=cos(x)\!}$ , sabemos que sua imagem é o intervalo real [– 1 , 1]. Sendo assim, nessa função o menor valor pode ser – 1, e o maior valor pode ser 1, não passando deles (valor mínimo e valor máximo), isto é, $\boldsymbol{\!-\,1\leq cos\,(x)\leq1\!}$ . Portanto, sabendo disso podemos determinar a imagem de qualquer função cosseno (na função seno é a mesma coisa).

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Enfim, desejamos encontrar o período e a imagem da função abaixo. Inicialmente vamos identificar seus coeficientes:

$\qquad\boldsymbol{\begin{array}{c}\large\text{$f(x)=1+2\cdot cos(3x)$}\\\\\bullet~~m=2\\\bullet~~n=3\\\bullet~~o=0\\\bullet~~p=1\end{array}}\\\\$

E como expliquei no primeiro parágrafo, podemos encontrar o período assim:

$\\\!\!\!\!\boldsymbol{\begin{array}{l}\implies~~~P=\dfrac{2\pi}{|n|}\\\\\iff~~\,P=\dfrac{2\pi}{|3|}\\\\\iff~~\,\!\boxed{P=\dfrac{2\pi}{3}}\end{array}}\\\\$

Agora para encontrar a imagem, vamos fazer uma manipulação algébrica em $\boldsymbol{\!-\,1\leq cos\,(x)\leq1\!}$ de modo que obtenhamos a função inicial dessa questão:

$\\\!\!\!\!\boldsymbol{\begin{array}{l}\implies~~\,\!-1\leq cos(x)\leq1\\\\\iff~~\,\!\!-1\leq cos(3x)\leq1\\\\\iff~~\,\!\!-1\cdot2\leq cos(3x)\cdot2\leq1\cdot2\\\\\iff~~\,\!\!-2\leq2\cdot cos(3x)\leq2\\\\\iff~~\,\!\!-2+1\leq2\cdot cos(3x)+1\leq2+1\\\\\iff~~\,\!\!-1\leq1+2\cdot cos(3x)\leq3\\\\\iff~~\,\!\boxed{-\,1\leq f(x)\leq3}~\therefore~\boxed{Im(f)=[-\,1~,~3]}\end{array}}\\\\$

Outra forma de determinar a imagem é fazendo $\boldsymbol{\!Im=[p-m~,~p+m]\!}$ , assim:

$\\\!\!\!\!\boldsymbol{\begin{array}{l}\implies~~\,Im(f)=[p-m~,~p+m]\\\\\iff~~\,Im(f)=[1-2~,~1+2]\\\\\iff~~\,\!\boxed{Im(f)=[-\,1~,~3]}\end{array}}\\\\$

R: Portanto, a função desta questão tem período igual a 2π/3, e sua imagem se comporta no intervalo [– 1 , 3].

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$\!\!\!\!\Large\begin{array}{l}\beta\gamma~N\alpha sg\theta v\alpha sk\theta v\\\Huge\text{\sf ---------------------------------------------}\end{array}$