Question

Sabendo que a distancia do ponto P(0,y) até a reta 4x+3y-2=0 é igual a 2. Qual o valor de y?

Escolha uma opção:
a. y=8/3 ou y=-4
b. y=8/3 ou y=4
c. y=-8/3 ou y=4
d. y = 0 ou y =3
e. y=8/3 ou y=-4

Answer 1

Olá, boa noite.

Sabendo que a distância do ponto $P~(0,~y)$ até a reta $4x+3y-2=0$ é igual a $2$, devemos determinar o valor de $y$.

Lembre-se que a distância $d$ de um ponto genérico de coordenadas $(x_0,~y_0)$ a uma reta $r$ cuja equação geral de coeficientes reais é $ax+by+c=0$ é calculada pela fórmuça: $d=\dfrac{|a\cdot x_0+b\cdot y_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$.

Assim, substituindo os dados cedidos pelo enunciado, teremos:

$2=\dfrac{|4\cdot 0+3\cdot y-2|}{\sqrt{4^2+3^2}}$

Multiplique os valores, calcule as potências e some os termos

$2=\dfrac{|0+3y-2|}{\sqrt{16+9}}\\\\\\2=\dfrac{|3y-2|}{\sqrt{25}}$

Calcule o radical, sabendo que $25=5^2$

$2=\dfrac{|3y-2|}{5}$

Multiplique ambos os lados da igualdade por um fator $5$

$|3y-2|=10$

Para resolver esta equação modular, lembre-se da definição: $|x|=\begin{cases}x,~se~x\geq0\\-x,~se~x<0\\\end{cases}$.

Logo, teremos duas possíveis soluções:

$-(3y-2)=10~~\bold{ou}~~3y-2=10$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação na primeira equação e some $2$ em ambos os lados da segunda igualdade

$-3y+2=10~~\bold{ou}~~3y=12$

Subtraia $2$ em ambos os lados da primeira equação e isole $y$ em ambas as igualdades

$-3y=8~~\bold{ou}~~3y=12\\\\\\\RIghtarrow y=-\dfrac{8}{3}~~\bold{ou}~~y=4~~\checkmark$

Estas são as possíveis coordenadas de $y$ neste caso e é a resposta contida na letra c).