Question

Resolva a equacao Sen x + sen (2x) + sen (3x) = 0

Answer 1

Resolver a equação

$\mathrm{sen}(x)+\mathrm{sen}(2x)+\mathrm{sen}(3x)=0\\ \\ \displaystyle\sum\limits_{n=1}^{3}\mathrm{sen}(nx)=0\;\;\;\;\;\mathbf{(i)}$

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Forma 1:

$\bullet\;\;$ Reescrevendo a equação dada, temos

$\mathrm{sen}(2x)+\left[\mathrm{sen}(3x)+\mathrm{sen}(x) \right]=0$


$\bullet\;\;$ Usando uma das fórmulas de prostaférese (transformação de soma em produto) para a soma de senos na equação acima

$\mathrm{sen}(\alpha)+\mathrm{sen} (\beta)=2\,\mathrm{sen}\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2} \right )\cos \left(\dfrac{\alpha-\beta}{2} \right )$

com $\alpha=3x\;\;\text{ e }\;\;\beta=x$

temos


$\mathrm{sen}(2x)+2\,\mathrm{sen}(2x)\cos(x)=0\\ \\ \mathrm{sen}(2x)\cdot \left[1+2\cos(x) \right ]=0\\ \\ \begin{array}{rcl} \mathrm{sen}(2x)=0&\;\text{ ou }\;&1+2\cos(x)=0\\ \\ \mathrm{sen}(2x)=0&\;\text{ ou }\;&\cos(x)=-\dfrac{1}{2}\\ \\ 2x=k\pi&\;\text{ ou }\;&x=\dfrac{2k\pi}{3}\\ \\ x=\dfrac{k\pi}{2}&\;\text{ ou }\;&x=\dfrac{2k\pi}{3} \end{array}$

com $k$ inteiro.
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Forma 2:

$\bullet\;\;$ Para um $x$ fixado, consideremos a seguinte sequência numérica:

$a_{n}=\cos\left(nx-\dfrac{x}{2}\right)\,,\;\;\;\;n=1,\,2,\,3,\,\ldots$


$\bullet\;\;$ Analisemos agora a diferença entre dois termos consecutivos desta sequência:

$\displaystyle\Delta(a_{n})=a_{n+1}-a_{n}\\ \\ \Delta(a_{n})=\cos\left((n+1)x-\frac{x}{2} \right )-\cos\left(nx-\frac{x}{2} \right )\\ \\ \\ \Delta(a_{n})=\cos\left(nx+x-\frac{x}{2} \right )-\cos\left(nx-\frac{x}{2} \right )\\ \\ \\ \Delta(a_{n})=\cos\left(nx+\frac{x}{2} \right )-\cos\left(nx-\frac{x}{2} \right )\;\;\;\;\;\mathbf{(ii)}$


$\bullet\;\;$ Utilizaremos agora uma das fórmulas de prostaférese para a diferença entre cossenos:

$\displaystyle\cos(\alpha)-\cos (\beta)=-2\,\mathrm{sen}\left(\frac{\alpha-\beta}{2} \right )\mathrm{sen}\left(\frac{\alpha+\beta}{2} \right )$


$\bullet\;\;$ Aplicando esta fórmula na equação $\mathbf{(ii)},$ com

$\alpha=nx+\dfrac{x}{2}\;\;\;\text{ e }\;\;\;\beta=nx-\dfrac{x}{2}$

temos


$\displaystyle\Delta(a_{n})=\cos\left(nx+\frac{x}{2} \right )-\cos\left(nx-\frac{x}{2} \right )\\ \\ \\ \Delta(a_{n})=-2\,\mathrm{sen}\left(\frac{x}{2} \right )\,\mathrm{sen}(nx)$


Enfim, concluimos que

$\cos\left((n+1)x-\dfrac{x}{2}\right)-\cos\left(nx-\dfrac{x}{2}\right)=-2\,\mathrm{sen}\left(\dfrac{x}{2} \right )\,\mathrm{sen}(nx)\;\;\;\;\;\;\mathbf{(iv)}$


$\bullet\;\;$ Vamos analisar os seguintes casos:

Caso 1 (trivial): $x=2k\pi\,,$ com $k$ inteiro é solução para a equação $\mathbf{(i)}$ dada.


Caso 2:  $x \neq 2k\pi\,,$ com $k$ inteiro:

Neste caso, temos que $\mathrm{sen}\left(\dfrac{x}{2} \right )\neq 0.$ Portanto, a equação $\mathbf{(iv)}$ pode ser reduzida a

$\mathrm{sen}(nx)=\dfrac{\cos\left((n+1)x-\frac{x}{2}\right)-\cos\left(nx-\frac{x}{2}\right)}{-2\,\mathrm{sen}\left(\frac{x}{2} \right )}\\ \\ \\ \mathrm{sen}(nx)=-\dfrac{1}{2}\,\mathrm{cossec}\left(\dfrac{x}{2} \right )\cdot \left[\cos\left((n+1)x-\dfrac{x}{2}\right)-\cos\left(nx-\dfrac{x}{2}\right) \right ]\;\;\;\;\;\mathbf{(v)}$


$\bullet\;\;$ Substituindo a equação $\mathbf{(v)}$ na equação $\mathbf{(i)},$ temos

$\displaystyle\\ \\ \\ -\dfrac{1}{2}\,\mathrm{cossec}\left(\dfrac{x}{2} \right )\cdot \sum\limits_{n=1}^{3}{\left[\cos\left((n+1)x-\dfrac{x}{2}\right)-\cos\left(nx-\dfrac{x}{2}\right) \right ]}=0\\ \\ \\ \sum\limits_{n=1}^{3}{\left[\cos\left((n+1)x-\dfrac{x}{2}\right)-\cos\left(nx-\dfrac{x}{2}\right) \right ]}=0$


A soma acima é uma soma telescópica. Observe que ao desenvolver o somatório, os termos intermediários se cancelam:

$\left[\cos \left(\dfrac{3x}{2} \right )-\cos \left(\dfrac{x}{2} \right ) \right ]+\left[\cos \left(\dfrac{5x}{2} \right )-\cos \left(\dfrac{3x}{2} \right ) \right ]+\\ \\ \\ +\left[\cos \left(\dfrac{7x}{2} \right )-\cos \left(\dfrac{5x}{2} \right ) \right ]=0$


E ficamos apenas com

$\cos\left(\dfrac{7x}{2}\right)-\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)=0\\ \\ \\ \cos\left(\dfrac{7x}{2}\right)=\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)$


A equação acima é bem mais simples de resolver pois é uma igualdade entre cossenos. Resolvendo, temos

$\dfrac{7x}{2}=\pm\dfrac{x}{2}+2k\pi\\ \\ \\ 7x=\pm x+4k\pi\\ \\ \\ \begin{array}{rcl} 7x=x+4k\pi&\text{ ou }&7x=-x+4k\pi\\ \\ 7x-x=4k\pi&\text{ ou }&7x+x=4k\pi\\ \\ 6x=4k\pi&\text{ ou }&8x=4k\pi\\ \\ x=\dfrac{4}{6}\,k\pi&\text{ ou }&x=\dfrac{4}{8}\,k\pi \end{array}\\ \\ \\ \\ \begin{array}{rcl} x=\dfrac{2k\pi}{3}&\text{ ou }&x=\dfrac{k\pi}{2} \end{array}$

com $k$ inteiro.
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$\bullet\;\;$ O conjunto solução da equação dada inicialmente é

$S=\left\{x \in \mathbb{R}\left|\;x=\dfrac{2k\pi}{3}\;\;\text{ ou }\;\;x=\dfrac{k\pi}{2}\,,\;k\in\mathbb{Z}\right.\right\}$