Question

considere um triângulo ABC e os pontos D e E na base BC, com D entre B e E e E e entre D e C. Trace os segmentos AD e AE, de modo que "BAD"="DAE" ="EAC"= 45 graus. Se BD=3, DE=2, quanto mede EC?

Answer 1

AD é a bissetriz interno do ângulo BÂE. Utilizando o teorema da bissetriz interna temos que :

$\frac{AB}{BD}= \frac{AE}{ED}$

$\frac{AB}{3}= \frac{AE}{2}$

$AB = \frac{3\cdot AE}{2}$ (1)

Além disso, o triângulo ABE é retângulo, portanto:

$AB^{2} + AE^{2} = BE^{2}$
$AB^{2} + AE^{2} = 25$ (2)

Substituindo (1) em (2) obtemos:

$( \frac{3\cdot AE}{2} )^2 + AE^{2} = 25$

$\frac{9\cdot AE^2}{4} + AE^2 = 25$

$9AE^2+4AE^2=100$

$13AE^2=100$

$AE= \sqrt{ \frac{100}{13} }$

$AE= \frac{10}{ \sqrt{13} }$

$AE = \frac{10 \sqrt{13}}{13}$

Substituindo esse resultado em (1):

$AB= \frac{3\frac{10 \sqrt{13}}{13}}{2}$

$AB= \frac{15 \sqrt{3} }{13}$

Podemos observar também, que a reta suporte de AB faz um ângulo de 45° com o lado AC. Dessa forma, AC é a bissetriz externa do triângulo ABC. Então, pelo teorema da bissetriz externa, sendo x igual a EC, concluímos:

$\frac{AB}{BC} = \frac{AE}{EC}$

$\frac{ \frac{15 \sqrt{3} }{13} }{5+x} = \frac{ \frac{10 \sqrt{13} }{13} }{5}$

$(5+x)\frac{10 \sqrt{13}}{13}=x\frac{15 \sqrt{3} }{13}$

$(5+x)10=15x$

$50+10x=15x$

$5x=50$

$x=10$

O lado EC mede 10 unidades de comprimento.