Question

Resolva em R a equaçao:
$log_{3} (x-2) + log_{3} (x+2) = 2$

Answer 1

$\bullet\;\;$ Condições de existência para a equação logarítmica:

Os logaritmandos (termos "dentro" dos logaritmos) devem ser positivos. Então, devemos ter

$\begin{array}{rcl} x-2>0&\;\text{ e }\;&x+2>0\\ \\ x>2&\;\text{ e }\;&x>-2\\ \\ &\boxed{\begin{array}{c}x>2 \end{array}}& \end{array}$


$\bullet\;\;$ Resolver a equação dada, respeitando a condição acima:

$\mathrm{\ell og}_{3\,}(x-2)+\mathrm{\ell og}_{3\,}(x+2)=2\\ \\ \mathrm{\ell og}_{3\,}[(x-2)\cdot (x+2)]=2\\ \\ \mathrm{\ell og}_{3\,}(x^{2}-4)=2\\ \\ \\ x^{2}-4=3^{2}\\ \\ x^{2}-4=9\\ \\ x^{2}=9+4\\ \\ x^{2}=13\\ \\ x=\pm \sqrt{13}\\ \\ \begin{array}{rcl} x=\sqrt{13}&\;\text{ ou }\;&x=-\sqrt{13}\;\;\text{(n\~{a}o serve)} \end{array}$


A única solução válida é $x=\sqrt{13},$ pois esta é a única que satisfaz a condição de existência dos logaritmos:

$\sqrt{13}>2\;\;\;\;(\checkmark)$


$\bullet\;\;$ Portanto, o conjunto solução para a equação dada é

$S=\left\{\sqrt{13}\right\}$

Answer 2

Dea,

Aplicando propriedades operatórias de potencias

             $log(3)(x-2)+log(3)(x+2)=2 \\ \\ log(3)[(x-2)(x+2)]=2 \\ \\ log(3)(x^2-4)=2 \\ \\ x^2-4=3^2 \\ \\ x^2=9+4 \\ \\ x= \sqrt{13} \\ \\ x1=- \sqrt{13} \\ x2= \sqrt{13}$

Necessário determinar a condição de existência do logaritmo

                   x - 2 > 0  [zero ou numero negativo não tem logaritmo]
                               x > 2
                   x + 2 > 0
                               x > - 2
A raiz devera ser maior de 2
Descartar a raiz negativa
                                                                                     S = {$\sqrt{13}$}