Question

QUANTOS ALGARISMOS TEM O PRODUTO P= 5^5 X 8^8 X 9^9 X (1/12)^12 X 16^16 X 25^25 ?

Answer 1

Para calcular o número de algarismos, vamos usar logaritmos.
Observemos alguns exemplos:

1000 é um número de 4 algarismos. 
log 1000 = log 10³ = 3 log 10 = 3.1 = 3. Somando 1 ao 3 obtenho 4, que é o número de algarismos de 1000.

Entre 1000 e 9999 o logaritmo destes números será entre 3 e 3,9999...Somando 1 à característica do logaritmo (parte inteira), obteremos sempre 3 + 1 = 4, isto é, exatamente o número de algarismos.

No exercício dado:

$P = 5^{5}.8^{8}.9^{9}. (\frac{1}{12})^{12}.16^{16}.25^{25} log P = log[5^{5}.8^{8}.9^{9}.12^{- 12}.16^{16}.25^{25}] = log5^{5} + log8^{8} + log9^{9} + log12^{- 12} + log16^{16} + log25^{25} = 5.log5 + 8.log8 + 9.log9 - 12.log12 + 16.log16 + 25.log25 = 5.log5 + 8.log2^{3} + 9.log3^{2} - 12.log(3.2^{2}) + 16.log2^{4} + 25.log5^{2} = 5.log5 + 24.log2 + 18.log3 - 12.log3 - 24.log2 + 64.log2 + 50.log5 = 55.log5 + 64.log2 + 6.log3$

Substituindo os logaritmos:

log P = 55.0,698 + 64.0,310 + 6.0,477
log P = 38,390 + 19,265 + 2,862

log P = 60,517

Portanto, o número n de algarismos de P é igual a:

n = 60 + 1 = 61 algarismos.


- Outro modo possível de resolver:

$P = 5^{5}.8^{8}.9^{9}. (\frac{1}{12})^{12}.16^{16}.25^{25} P = 5^{5}.2^{3.8}.3^{2.9}.(3.2^{2})^{- 12}.2^{4.16}.5^{2.25} P = 5^{5}.2^{24}.3^{18}.3^{- 12}.2^{- 2.12}.2^{64}.5^{50} P = 5^{50+5}.2^{24-24+64}.3^{18-12} P = 5^{55}.2^{64}.3^{6} P = 5^{55}.2^{55 + 9}.3^{6} P = 5^{55}.2^{55}.2^{9}.3^{6} P = 10^{55}.512.729 P = 10^{55}.373248$

Quando multiplicarmos 373248 por 10 elevado a 55, serão adicionados 55 zeros ao número. Logo teremos 6 + 55 = 61 algarismos.