Matéria: Matemática
Autor: nicolysant156
Perguntado 4 anos atrás

Em uma fábrica de tapetes feitos de Sisal se o tapete for
vendido ao preço de R$ 20,00, são vendidos mensalmente,
6000 unidades. O empresário, por experiência própria, vem
observado o seguinte: quando aumenta o preço de R$ 2,00,
vende 250 unidades a menos. O empresário deseja saber:

a) Qual o maior preço que deverá cobrar, a fim de obter a
máxima receita?

b) Quantas unidades deverá produzir, mensalmente, a fim deobter a máxima receita?

Respostas

respondido por: Atoshiki

No Item A, o maior preço que o empresário deverá cobrar para obter a maior receita é de R$ 34,00, e, no item B, a fábrica também deverá produzir mensalmente 4250 unidades de tapete.

$\blacksquare$ Acompanhe a solução:

→ dados:

p = preço do tapete: R$ 20,00
q = quantidade de tapete vendido por mês: 6000 unidades
x = variação do preço aumentando o valor em R$ 2,00 → vende 250 unidades a menos.
R = receita

$\blacksquare$ Montando a função:

Pelo descrito, a Receita é resultado da multiplicação entre o preço e a quantidade vendida.

$\large\begin {array}{l}\boxed{R = p\times q}\\\\\end {array}$

→ Com a experiência do empresário:

A receita irá variar em relação ao preço que aumenta (2 reais) e também sobre a redução da venda (250 unidades). Assim, nossa função será:

p = 20+2.x
q = 6000 - 250.x

$\large\begin {array}{l}\boxed{R(x)=(20+2x)(6000-250x)}\\\\\\\\\end {array}$

Arrumando a função:

$\large\begin {array}{l}R(x)=(20+2x)(6000-250x)\\\\R(x)=120000-5000x+12000x-500x^2\\\\R(x)=-500x^2+7000x-120000\\\\\Rightarrow simplificando\;a\;\text{fun\c{c}\~ao}\;por (-500)\Leftarrow\\\\\boxed{R(x)=x^2-14x+240}\\\\\\\\\\\\\end {array}$

$\blacksquare$ Calculando Item A:

Chegamos numa função quadrática. No gráfico, R(x) seria o eixo "y" e o "x", o eixo "x".

Há uma fórmula que calcula o ponto do vértice da parábola. O ponto do vértice é o ponto máximo, ou mínimo da parábola, o que nos informa sobre valores máximos ou mínimos, que para o caso, queremos saber o maior preço que gera a maior receita.

$\large\begin{array}{l}\boxed{x_v=\dfrac{-b}{2a}}\end{array} \quad \large\begin{array}{l}\boxed{y_v=\dfrac{-\Delta}{4a}}\end{array}$

→ Como o exercício somente pede o maior preço, calcularei somente o $x_v$ :

$\large\begin{array}{l}x_v=\dfrac{-b}{2a}\\\\x_v=\dfrac{-(-14)}{2\cdot1}\\\\\Large\boxed{\boxed{x_v=7}}\Huge\checkmark\end{array}$

→ Calculando o maior preço (p):

$\large\begin{array}{l}\\p = 20+2\cdot x\\\\p = 20 + 2\cdot7\\\\p = 20+14\\\\\large\boxed{\boxed{p=34}}\Huge\checkmark\end{array}$

Assim, o maior preço que deverá cobrar para obter a maior receita é de R$ 34,00.

→ Calculando a quantidade de unidades que deve produzir (q):

$\large\begin{array}{l}\q = 6000 - 250\cdot x\\\\q = 6000 - 250\cdot7\\\\q=6000-1750\\\\\large\boxed{\boxed{q=4250}}\Huge\checkmark\end{array}$

Assim, deverá produzir mensalmente 4250 unidades para obter a máxima receita.

$\blacksquare$ Resposta:

Portanto, no Item A, o maior preço que o empresário deverá cobrar para obter a maior receita é de R$ 34,00. E no item B, a fábrica deverá produzir mensalmente 4250 unidades para obter a máxima receita.