Question

Seja a função
$z=xy^2+xy+x^2y$ Calcule o valor de f (1,2) - fx (1,2) - fy (1,2)

Answer 1

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o resultado procurado da expressão dada é:

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf f(1, 2) - f_{x}(1, 2) - f_{y}(1, 2) = -8\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os dados:

      $\Large\begin{cases} z = xy^{2} + xy + x^{2}y\\f(1, 2) - f_{x}(1, 2) - f_{y}(1, 2) = \:?\end{cases}$

Sabendo que...

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} z = f(x, y)\end{gathered}$

...e sendo "z" também uma superfície tridimensional, então podemos reescrever os dados como:

      $\Large\begin{cases} S = f(x, y) = xy^{2} + xy + x^{2}y\\f(1, 2) - f_{x}(1, 2) - f_{y}(1, 2) = \:?\end{cases}$

Observe que a questão envolve derivadas parciais de primeira ordem e para podermos calcular tais derivadas iremos aplicar basicamente a seguinte regra de derivação:

• Regra da potência:

             $\Large\displaystyle\begin{gathered} \textrm{Se}\:f(x) = x^{n}\Longrightarrow f'(x) = n\cdot x^{n - 1}\end{gathered}$

Então, devemos:

• Calcular o valor numérico da função para o ponto "(1, 2)".

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} f(1, 2) = 1\cdot2^{2} + 1\cdot2 + 1^{2}\cdot2\end{gathered}$

                           $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 1\cdot4 + 1\cdot2 + 1\cdot2\end{gathered}$

                           $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 4 + 2 + 2\end{gathered}$

                           $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 8\end{gathered}$

        Portanto:

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} f(1, 2) = 8\end{gathered}$

• Calcular a derivada parcial de primeira ordem da função no ponto "(1, 2)" em termos de "x".

            $\Large\displaystyle\begin{gathered} f_{x}(1, 2) = 1\cdot1^{1 - 1}\cdot2^{2} + 1\cdot1\cdot2 + 2\cdot1^{2 - 1}\cdot2\end{gathered}$

                              $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 1\cdot1^{0}\cdot2^{2} +1\cdot1\cdot 2 + 2\cdot1^{1}\cdot2\end{gathered}$

                              $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 1\cdot1\cdot4 + 1\cdot1\cdot2 + 2\cdot1\cdot2\end{gathered}$

                              $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 4 + 2 + 4\end{gathered}$

                              $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 10\end{gathered}$

        Portanto:

             $\Large\displaystyle\begin{gathered} f_{x}(1, 2) = 10\end{gathered}$

• Calcular a derivada parcial de primeira ordem da função no ponto "(1, 2)" em termos de "y".

             $\Large\displaystyle\begin{gathered} f_{y}(1, 2) = 2\cdot1\cdot2^{2 - 1} + 1\cdot1\cdot2^{1 - 1} + 1\cdot 1^{2}\cdot 2^{1 - 1} \end{gathered}$

                              $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 2\cdot1\cdot2^{1} + 1\cdot1\cdot2^{0} + 1\cdot1^{2}\cdot2^{0}\end{gathered}$

                              $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 2\cdot1\cdot2 + 1\cdot1\cdot1 + 1\cdot1\cdot1\end{gathered}$

                              $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 4 + 1 + 1\end{gathered}$

                              $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 6\end{gathered}$

        Portanto:

             $\Large\displaystyle\begin{gathered} f_{y}(1, 2) = 6\end{gathered}$

Calculando o valor da expressão procurada, temos.

        $\Large\displaystyle\begin{gathered} f(1, 2) - f_{x}(1, 2) - f_{y}(1, 2) = 8 - 10 - 6 = -8\end{gathered}$

✅ Portanto, o resultado é:

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} f(1, 2) - f_{x}(1, 2) - f_{y}(1, 2) = -8\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$