Question

Considere a função y = 1 / x

a) Encontre a taxa de variação média de y em relação a x no intervalo [3, 4].

b) Encontre a taxa de variação instantânea de y em relação a x em x = 3.
Justifique cada resposta.

Answer 1

A questão nos dá a seguinte função:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: y = \frac{1}{x}$

Primeiramente a questão pergunta qual a taxa de variação média no intervalo de [3,4], para isso vamos lembrar que:

$T.V_{m}=\frac{f({x_1)}-f({x_0})}{x_1-x_0}, \: [ x_0 , x_1 ]$

Aplicando isso para o nosso problema, temos:

$T.V_{m}=\frac{{ \frac{1}{4} }- \frac{1}{3} }{4 - 3} \: \to \:T.V_{m} = \frac{ \frac{3.1 - 4.1}{3.4} }{1 } \\ \\ T.V_{m} = \frac{ - 1}{12} \: \to \: \boxed{ T.V_{m} = - \frac{1}{12} }$

Agora para calcular a taxa de variação instantânea, devemos lembrar que:

$T.V_{i} = \frac{dy}{dx} , \: x = a$

Portanto, vamos iniciar derivando a função:

$y = \frac{1}{x} \: \to \: y'= x {}^{ - 1} \: \to \: y'= - 1.x {}^{ - 1 - 1} \\ \\ y'= - 1.x {}^{ - 2} \: \to \: y'= - \frac{1}{x {}^{2} }$

Substituindo o valor de "x":

$T.V_{i}= - \frac{1}{3 {}^{2} } \: \to \: \boxed{T.V_{i}= - \frac{1}{9}}$

Espero ter ajudado