Considere, em ℝ, a equação x² – x – 12 = 0 na variável x. Analise as afirmativas abaixo e classifique-as em V (VERDADEIRA) ou F (FALSA).
1-Para todo x=1, a equação possui conjunto solução vazio
2-Existem dois valores reais de x para que a equação admita raízes
3- Na equação, se delta é 0, então x terá apenas uma raiz real
4- As raízes da equação são-4 e 3.
A sequência correta é?
(A)F,F,F,V
(B)F,V,V,F
(C)F,V,F,F
(D)V,F,F,V
(E)V,F,V,F
Respostas
Resposta: • Se ∆ > 0, a equação possui duas raízes reais e diferentes
• Se ∆ = 0, a equação possui duas raízes reais e iguais
• Se ∆ < 0, a equação não possui raízes reais
( V ) Para todo m > 2 a equação possui conjunto solução vazio.
O conjunto solução é vazio, se ∆ < 0
(m + 2).x² - 2m.x + (m + 1) = 0
∆ = (-2m)² - 4.(m + 2).(m + 1)
∆ = 4m² - (4m + 8).(m + 1)
∆ = 4m² - 4m² - 4m - 8m - 8
∆ = -12m - 8
Para ∆ < 0:
-12m - 8 < 0
-12m < 8 .(-1)
12m > -8
m > -8/12
m > -2/3
Assim, para m > -2/3, essa equação não possui raízes reais
Como 2 > -2/3, para todo m > 2 a equação possui conjunto solução vazio.
( F ) Existem dois valores reais de m para que a equação admita raízes iguais.
A equação admite raízes iguais quando ∆ = 0
∆ = -12m - 8
Para ∆ = 0:
-12m - 8 = 0
-12m = 8 .(-1)
12m = -8
m = -8/12
m = -2/3
A equação admite raízes iguais somente para m = -2/3
( F ) Na equação se ∆ < 0, então m só poderá assumir valores positivos.
∆ = -12m - 8
Se ∆ < 0, então -12m - 8 < 0
-12m - 8 < 0
-12m < 8 .(-1)
12m > -8
m > -8/12
m > -2/3
m também poderá assumir valores negativos, do intervalo -2/3 < m < 0. Por exemplo, m = -0,5
Resposta: V-F-F
Letra D