Question

VALE 20 PONTOS! Sabendo que {(1,1,1),(1,2,2),(2,3,4)} é uma base de R³.


Determine as coordenadas do vetor v=(3,2,5), nessa base.

Answer 1

Olá, bom dia.

Sabendo que $\{(1,~1,~1),~(1,~2,~2),~(2,~3,~4)\}$ é uma base de $\mathbb{R}^3$, devemos determinar as coordenadas do vetor $\overrightarrow v=(3,~2,~5)$ nesta base.

Lembre-se que dado um vetor $\overrightarrow u=\{u_1,~u_2,~\cdots,~u_n\}$ pertencente a uma base do espaço vetorial, isto é, ele pode ser reescrito como combinação linear dos vetores geradores deste espaço, suas coordenadas são os coeficientes desta combinação.

Assim, definem-se os coeficientes $\alpha,~\beta$ e $\gamma$ $\in\mathbb{R}$ tais que:

$\overrightarrow v=\alpha\cdot(1,~1,~1)+\beta\cdot(1,~2,~2)+\gamma\cdot(2,~3,~4)$

O produto de um vetor por um fator escalar é dado por: $k\cdot(u_1,~u_2,~u_3)=(k\cdot u_1,~k\cdot u_2,~k\cdot u_3)$. Logo, teremos:

$\overrightarrow v=(\alpha,~\alpha,~\alpha)+(\beta,~2\beta,~2\beta)+(2\gamma,~3\gamma,~4\gamma)$

A soma de vetores é uma operação linear e é calculada como a soma de seus componentes: $\overrightarrow v+\overrightarrow u=(v_1,~v_2,~v_3)+(u_1,~u_2,~u_3)=(v_1+u_1,~v_2+u_2,~v_3+u_3)$. Então, teremos:

$\overrightarrow v=(\alpha+\beta+2\gamma,~\alpha+2\beta+3\gamma,~\alpha+2\beta+4\gamma)$

Substituindo as componentes do vetor $\overrightarrow v=(3,~2,~5)$, teremos:

$(3,~2,~5)=(\alpha+\beta+2\gamma,~\alpha+2\beta+3\gamma,~\alpha+2\beta+4\gamma)$

Com isso, teremos o seguinte sistema de equações lineares:

$\begin{cases}\alpha+\beta+2\gamma=3\\\alpha+2\beta+3\gamma=2\\\alpha+2\beta+4\gamma=5\\\end{cases}$

Escalonamos o sistema, multiplicando a segunda equação por um fator $(-1)$ e somando à terceira equação

$\begin{cases}\alpha+\beta+2\gamma=3\\\alpha+2\beta+3\gamma=2\\\gamma=3\\\end{cases}$

Substituindo este resultado na primeira e segunda equações, temos:

$\begin{cases}\alpha+\beta=-3\\\alpha+2\beta=-7\\\end{cases}$

Escalonamos o sistema, multiplicando a primeira equação por um fator $(-1)$ e somando à segunda equação

$\begin{cases}\alpha+\beta=-3\\\beta=-4\\\end{cases}$

Finalmente, substituindo este resultado na primeira equação, temos as soluções:

$\alpha=1,~\beta=-4$ e $\gamma=3$.

Com isso, conclui-se que as coordenadas do vetor $\overrightarrow v$ nesta base são $(1,\,-4,~3)~~\checkmark$.