Question

4) Para construir uma caixa sem tampa cortamos um quadrado de lado x em cada canto de uma folha de papelão de 18 cm de lado. Qual deve ser a medida x para que o volume da caixa seja o maior possível? Determine esse volume máximo.

Answer 1

Resposta:

tô precisando dessa resposta também

Answer 2

A figura que eu coloquei em anexo pode auxiliar na resolução desse exercício.

Os lados do quadrado recortado nos cantos representam a altura da caixa, enquanto o restante representa o comprimento e a largura da base.

Assim sendo, o volume da caixa pode ser calculado por:

$V = A_b \cdot h$

ou:

$V(x) = (18-2 \cdot x)^2 \cdot x$

Expandindo:

$V(x) = 4 \cdot x^3 - 72 \cdot x^2 + 324 \cdot x$

Agora, para conhecermos a medida x que nos permite obter o volume máximo, precisaremos utilizar a derivada de V(x), igualando-a a zero.

$\dfrac{dV(x)}{dx} = 12 \cdot x^2 - 144 \cdot x + 324 = 0$

Para encontrarmos as raízes dessa equação quadrática, podemos utilizar a fórmula de Bhaskara.

$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$

Com a = 12, b = -144 e c = 324:

$x = \dfrac{144 \pm \sqrt{(-144)^2 - 4 \cdot 12 \cdot 324}}{2 \cdot 12}$

$x = \dfrac{144 \pm \sqrt{20736 - 15552}}{24}$

$x = \dfrac{144 \pm \sqrt{5184}}{24}$

$x = \dfrac{144 \pm 72}{24}$

$x_1 = \dfrac{144 + 72}{24} = \dfrac{216}{24} = 9 \text{ cm}$

$x_2 = \dfrac{144 - 72}{24} = \dfrac{72}{24} = 3 \text{ cm}$

Mas como se utilizarmos um corte de 9 cm não haverá caixa, já que o dobro de 9 é 18 cm (medida do lado do papel), a única alternativa é utilizar x = 3 cm.

Neste caso:

$V_{max} = V(3) = 4 \cdot 3^3 - 72 \cdot 3^2 + 324 \cdot 3$

$V_{max} = 4 \cdot 27 - 72 \cdot 9 + 324 \cdot 3$

$V_{max} = 108 - 648 + 972$

$V_{max} = 432\text{ cm}^3$