Question

Calcule o valor das integrais a seguir

Answer 1

Resposta:

Leia a explicação

Explicação passo-a-passo:

$\int\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{16}+x^2}}dx$

Primeiramente simplificarmos

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{16}+x^2}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{1+16x^2}{16}}}=\dfrac{1}{\frac{\sqrt{16x^2+1}}{\sqrt{16}}}=\dfrac{1}{\frac{\sqrt{16x^2+1}}{4}}=\dfrac{4}{\sqrt{16x^2+1}}$

Resolvendo

${\displaystyle\int}\dfrac{1}{\sqrt{16x^2+1}}\,\mathrm{d}x$

Resolva por substituição trigonométrica:

$x=\dfrac{\tan\left(u\right)}{4}\longrightarrow{u}=\arctan\left(4x\right), \mathrm{d}x=\dfrac{\sec^2\left(u\right)}{4}\,\mathrm{d}u:\\={\displaystyle\int}\dfrac{\sec^2\left(u\right)}{4\sqrt{\tan^2\left(u\right)+1}}\,\mathrm{d}u$

Simplifique usando

$\tan^2\left(u\right)+1=\sec^2\left(u\right)$:

$={\dfrac{1}{4}}}{\displaystyle\int}\sec\left(u\right)\,\mathrm{d}u$

Resolvendo

${\displaystyle\int}\sec\left(u\right)\,\mathrm{d}u$

Expandir fração com $\tan\left(u\right)+\sec\left(u\right)$:

$=\displaystyle\int}\dfrac{\sec\left(u\right)\left(\tan\left(u\right)+\sec\left(u\right)\right)}{\tan\left(u\right)+\sec\left(u\right)}\,\mathrm{d}u$

Expandindo

$={\displaystyle\int}\dfrac{\sec\left(u\right)\tan\left(u\right)+\sec^2\left(u\right)}{\tan\left(u\right)+\sec\left(u\right)}\,\mathrm{d}u$

fazendo

$v=\tan\left(u\right)+\sec\left(u\right)$ $\longrightarrow$$\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}u} = \sec\left(u\right)\tan\left(u\right)+\sec^2\left(u\right)$$\longrightarrow$$\mathrm{d}u=\dfrac{1}{\sec\left(u\right)\tan\left(u\right)+\sec^2\left(u\right)}\,\mathrm{d}v$$={\displaystyle\int}\dfrac{1}{v}\,\mathrm{d}v$

$=\ln\left(v\right)$

Agora substituindo em $v=\tan\left(u\right)+\sec\left(u\right)$;

temos

$=\ln\left(\tan\left(u\right)+\sec\left(u\right)\right)$

Resolvendo a integral

$\dfrac{1}{4}}}{\displaystyle\int}\sec\left(u\right)\,\mathrm{d}u$

$=\dfrac{\ln\left(\tan\left(u\right)+\sec\left(u\right)\right)}{4}$

Desfazer substituição

$u=\arctan\left(4x\right)$ usaremos $\arctan\left(4x\right)}}\right)=4x$

$\arctan\left(4x\right)}}\right)=\sqrt{16x^2+1}$

$=\dfrac{\ln\left(\sqrt{16x^2+1}+4x\right)}{4}$

resolvendo

$\displaystyle\int}\dfrac{1}{\sqrt{16x^2+1}}\,\mathrm{d}x$

$=\ln\left(\sqrt{16x^2+1}+4x\right)$

O problema está resolvido. Aplique a função de valor absoluto a argumentos de funções de logaritmo para estender o domínio da antiderivada:

$\displaystyle\int}\dfrac{1}{\sqrt{x^2+\frac{1}{16}}}\,\mathrm{d}x$

$=\ln\left(\left|\sqrt{16x^2+1}+4x\right|\right)+C$

Espero ter ajudado !

resolva da mesma forma com as outras