Question

Usando a definição, calcule a derivada da função abaixo. Em seguida, determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto ( a, f ( a ) ), para o valor de a indicado, justifique a resposta:

Answer 1

Para derivar a função $f(x) = x^2+2x, a = 1$ através da definição, primeiro é necessário relembrar da expressão, que é:

$y' = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{f({\Delta x + x)}-f(x)}{\Delta x}$

Primeiro vamos calcular a função f(∆x + x), para fazer isso basta substituir ∆x + x onde tiver "x" na função que queremos derivar:

$f(x) = x {}^{2} + 2x \\ f(\Delta x + x) = (\Delta x + x) {}^{2} + 2.(\Delta x + x) \\ f(\Delta x + x) = \Delta x {}^{2} + 2x\Delta x + x {}^{2} + 2\Delta x + 2x$

Substituindo essa informação e a função na expressão da derivada por definição:

$y' = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{{ \Delta x {}^{2} + 2x\Delta x + x {}^{2} + 2\Delta x + 2x }-(x {}^{2} + 2x) }{\Delta x} \\ \\ y' = \lim_{\Delta x\to 0} \frac{ \Delta x {}^{2} + 2x\Delta x + x {}^{2} + 2\Delta x + 2x - x {}^{2} - 2x}{\Delta x} \\ \\ y' = \lim_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta x {}^{2} + 2x\Delta x + 2\Delta x}{\Delta x} \\ \\ y' = \lim_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta x.( \Delta x + 2x + 2) }{\Delta x} \\ \\ y' = \lim_{\Delta x\to 0}\Delta x + 2x + 2$

Substituindo o valor a qual o "∆x" tende:

$y' =0 + 2x + 2 \\ y' = 2x + 2$

Portanto essa é a derivada. A questão quer saber também a reta tangente que passe pelo ponto (a,f(a)), o valor de a temos que é a = 1, então vamos calcular f(a), substituindo esse valor na função inicial:

$f(x) = x {}^{2} + 2x \\ f(1) = 1 {}^{2} + 2.1 \\ f(1) = 3$

Portanto, sabemos que o ponto é P(1,3). Agora vamos calcular o valor numérico do coeficiente angular, para isso basta substituir o valor de "x" na derivada que encontramos:

$y' = m = 2x + 2 \\ m = 2.1 + 2 \\ m = 2 + 2 \\ m = 4$

Agora é só montar a equação da reta:

$y-y_0 = m.(x-x_0) \\ y - 3 = 4.(x - 1) \\ y - 3 = 4x - 4 \\ y = 4x - 4 + 3 \\ y = 4x - 1$

Espero ter ajudado