Question

Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:
Justifique cada resposta.

Answer 1

Temos a seguinte função:

$e) \: f(x) = \ln(x {}^{2} - 2x - 1)$

Primeiro vamos lembrar da derivada de um logarítmo natural, que é dada por:

$y = \ln(x), \: x = a = \: \to \: y' = \frac{1}{x}.x'$

Nós temos exatamente esse caso, então:

$y' = \frac{1}{ x {}^{2} - 2x - 1} .(x {}^{2} - 2x - 1)' \\ \\ y' = \frac{1}{x {}^{2} - 2x - 1 } .(2x - 2) \\ \\ \boxed{ y' = \frac{2x - 2}{x {}^{2} - 2 x- 1 } } \:$

Temos também que:

$f) \: f(x) = e {}^{ \cos(x)} - \cos(e {}^{ {x} } )$

Vamos lembrar da derivada de uma exponencial e de uma trigonométrica:

$y = e {}^{x} , \: x = a \: \to \: y' = e {}^{x} .x ' \\ y = \cos(x), \: x = a \to \: y' = - \sin(x).x'$

Aplicando isso na função

$y' = e {}^{ \cos(x)} . (\cos(x))' - (-\sin(e {}^{x} )).(e {}^{x} )' \\ y' = e {}^{ \cos(x)} .( - \sin(x)) + \sin(e {}^{x} ).e {}^{x} \\ \boxed{ y' = - e {}^{ \cos(x)} . \sin(x) + e {}^{x} . \sin(e {}^{x} )}$

Espero ter ajudado