Matéria: Matemática
Autor: CVRLtudo2
Perguntado 4 anos atrás

1. Resolva, em R, as equações exponenciais:
a) $16^{x}$ =512
b) $100^{x}$ =0,00001
c) $27^{x}$ = $\frac{1}{81}$
d) $25^{x}$ = $\sqrt[7]{625}$

Respostas

respondido por: Nasgovaskov

Resolvendo as equações exponenciais em cada item, temos que o valor de x em cada uma vale:

a) x = 9/4
b) x = – 5/2
c) x = – 4/3
d) x = 2/7

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Definimos uma equação exponencial como sendo uma igualdade entre duas expressões onde se tem pelo menos uma incógnita como expoente em pelo menos um de seus termos. A ideia para resolver esse tipo de equação é tentar deixar as bases iguais de ambos os membros para igualar seus expoentes.

Será preciso ter conhecimento de algumas das propriedades da potenciação e da radiciação: $\boldsymbol{a/b=(b/a)^{-1}}$ ; $\boldsymbol{(a^b)^c=a^{b\:\!c}}$ ; $\boldsymbol{\sqrt[c]{a\:\!^b}=a^{b/c}}$ . Assim, acompanhe a resolução abaixo.

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Item a)

$\large\begin{array}{l}16^x=512\\\\(2\:\!^4)\:\!^x=2^9\\\\2\:\!^{4x}=2^9\\\\\diagdown\!\!\!\!2\:\!^{4x}=\diagdown\!\!\!\!2^9\\\\4x=9\\\\\!\boldsymbol{\boxed{x=\dfrac{9}{4}}}\end{array}$

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Item b)

$\large\begin{array}{l}100^x=0,\!00001\\\\100^x=\dfrac{1}{100000}\\\\(10\:\!^2)\:\!^x=\dfrac{1}{10\:\!^5}\\\\10\:\!^{2x}=(10\:\!^5)^{-1}\\\\10\:\!^{2x}=10\:\!^{-5}\\\\\diagdown\!\!\!\!\!10\:\!^{2x}=\diagdown\!\!\!\!\!10\:\!^{-5}\\\\2x=-\,5\\\\\!\boldsymbol{\boxed{x=-\,\dfrac{5}{2}}}\end{array}$

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Item c)

$\large\begin{array}{l}27^x=\dfrac{1}{81}\\\\(3\:\!^3)\:\!^x=\dfrac{1}{3\:\!^4}\\\\3\:\!^{3x}=(3\:\!^4)^{-1}\\\\3\:\!^{3x}=3\:\!^{-4}\\\\\diagdown\!\!\!\!3\:\!^{3x}=\diagdown\!\!\!\!3\:\!^{-4}\\\\3x=-\,4\\\\\!\boldsymbol{\boxed{x=-\,\dfrac{4}{3}}}\end{array}$

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Item d)

$\large\begin{array}{l}25^x=\sqrt[7]{625}\\\\(5\:\!^2)\:\!^x=\sqrt[7]{5\:\!^4}\\\\5\:\!^{2x}=5^{4/7}\\\\\diagdown\!\!\!\!5\:\!^{2x}=\diagdown\!\!\!\!5^{4/7}\\\\2x=\dfrac{4}{7}\\\\x=\dfrac{4}{7}\cdot\dfrac{1}{2}\\\\x=\dfrac{2\cdot1}{7\cdot1}\\\\\!\boldsymbol{\boxed{x=\dfrac{2}{7}}}\end{array}$

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Dessa forma, encontramos com sucesso o valor de x em cada equação:

a) x = 9/4
b) x = – 5/2
c) x = – 4/3
d) x = 2/7

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$\!\!\!\!\Large\begin{array}{l}\beta\gamma~N\alpha sg\theta v\alpha sk\theta v\\\Huge\text{\sf ---------------------------------------------}\end{array}$