Determine as dimensões de um retângulo cujo perímetro mede 80 cm e cuja área é igual a 256 cm²?
Respostas
Resposta:
Lado X = 8
Lado Y = 32
Explicação passo-a-passo:
Antes de começar, definimos:
- Perímetro como Soma de todos os lados da figura geométrica, no caso do retângulo, é a soma dos 4 lados.
- x como sendo os lados horizontais e y sendo os lados verticais; P como o perímetro do retângulo; A como a área do retângulo.
- A área de um retângulo é definida por A = x . y
- O perímetro de um retângulo é definido por P = x + x + y + y
A questão quer que resolvamos um simples sistema de equações, para isso vamos montar a primeira equação (equação do perímetro), depois montar a segunda equação (equação da área) e então igualar estas duas equações para encontrar o valor do lado x do retângulo e o lado y
Lembre-se que o retângulo é diferente de um quadrado:
Quadrado: possui quatro lados iguais, então x1 = x2 = x3 = x4
Retângulo: possui dois lados iguais, então x1 = x2; y1 = y2
Equação cujo perímetro é igual a 80cm:
P = x + x + y + y
P = 2x + 2y
P - 2y = 2x
(P - 2y) / 2 = x
x = (P - 2y) / 2
Equação cuja área é igual a 256cm²:
A = x . y
A / y = x
x = A / y
Resolvendo o sistema, sendo P igual à 80cm e A igual à 256cm²
1° Equação
x = (80 - 2y) / 2
2° Equação
x = A / y
x = 256 / y
(80 - 2y) / 2 = 256 / y
80 / 2 - 2y / 2 = 256 / y
40 - y = 256 / y
y . (40 - y) = 256y / y
40y - y² = 256
-y² + 40y - 256 = 0
y² - 40y + 256 = 0
Calcule as raízes dessa equação do segundo grau usando o papel e a forma de resolução de sua preferência (Bháskara é o mais comum) ou uma calculadora online.
Com isso chegamos à:
y1 = 8
y2 = 32
Agora vamos usar qualquer equação de antes para encontrar o valor de x (Escolhi a segunda equação por praticidade):
x = 256 / y
x = 256 / 8
x = 32
Agora, testando para y = 32:
x = 256 / 32
x = 8
Então com isso chegamos à nossa resposta final, o retângulo que possui área igual à 256cm² E perímetro igual à 80cm tem os lados x = 8 e y = 32
Prova final para o perímetro:
P = 8 + 8 + 32 + 32
P = 16 + 64
P = 80cm, que bate com a questão
Prova final para a área:
A = 8 . 32
A = 256cm², que bate com a questão
É isto, foi divertido resolver este problema, muito obrigado, espero que ajude em alguma coisa :)