Question

Demonstre a igualdade 1 - sen² + sen⁴ x = cos⁴ x
(Coloquem os cálculos por favor )

Answer 1

Temos a seguinte expressão:

$1 - 2\sin {}^{2} (x) + \sin {}^{4} (x) = \cos {}^{4} (x)$

Primeiro vamos fazer uma modificação nessa expressão, para que seja possível utilizar a relação fundamental:

$1 - 2 \sin {}^{2} (x) + (\sin {}^{2} (x)) {}^{2} = \cos {}^{4} (x)$

Pela relação fundamental da trigonometria, sabemos que:

$\sin {}^{2} (x) + \cos {}^{2} (x) = 1 \\ \sin {}^{2} (x) = 1 - \cos {}^{2}(x)$

Substituindo essa informação:

$1 - 2.(1 - \cos {}^{2} (x)) + (1 - \cos {}^{2} (x)) {}^{2} = \cos {}^{4} (x) \\ 1 - 2 + 2 \cos {}^{2} (x) + 1 {}^{2} - 2.1. \cos {}^{2} (x) + ( \cos {}^{2} (x)) {}^{2} = \cos {}^{4} (x) \\ 1 - 2 + \cancel{2 \cos {}^{2} (x) }+ 1 \cancel{- 2 \cos {}^{2} (x)} + \cos {}^{4} (x) = \cos {}^{4} (x) \\ \cancel{2 - 2 }+ \cos {}^{4} (x) = \cos {}^{4} (x) \\ \boxed{ \cos {}^{4} (x) = \cos {}^{4} (x)}$

Espero ter ajudado