Question

O triângulo ABC da figura abaixo é equilátero. Determine a equação da reta suporte do lado AC
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Answer 1

Resposta:

(s): y=[-(8+5√3)x+54+20√3]/11

Explicação passo-a-passo:

Vamos determinar a equação da reta (r) - ver em anexo:

A(4,2) e B(0-6)

Pela condição de alinhamento, A e B estarão alinhados quando determinante for igual zero (det=0). Obs. Existem diversas formas para achar o determinante:

$\displaystyle \left[\begin{array}{ccc}x&y&1\\4&2&1\\0&-6&1\end{array}\right] =0\\\\\\\left[2.1-(-6).1\right]x-\left[4.1-0.1\right]y+4.(-6)-0.2=0\\\left[2-(-6)\right]x-\left[4-0\right]y+(-24)-0=0\\8x -4y - 24=0~~(\div4)\\2x-y-6=0\\y=2x-6$

mr=2

O ΔABC é equilátero (todos os lados são iguais), dessa forma, todos os ângulos internos (∝) são congruentes. A somatória dos ângulos internos de um Δ vale 180°:

∝+∝+∝=180°

3∝=180°

∝=180°/3=60°

Os ângulos opostos pelo mesmo vértice são congruentes:

∝=β=60°

O ângulo formado entre as retas r e s vale 60°

tgβ=|(ms-mr)/(1+mr.ms)|

tg60°=|(ms-2)/(1+2ms)|

√3=|(ms-2)/(1+2ms)|

1° solução:

(ms-2)/(1+2ms)= -√3

ms-2= -√3(1+2ms)

ms-2= -√3-2√3ms

(1+2√3)ms= -√3+2

ms= (-√3+2)/(1+2√3), Descartar esta solução porque o ms é positivo e pelo gráfico o ms tem que ser negativo (decrescente).

2° solução:

(ms-2)/(1+2ms)=√3

ms-2=√3(1+2ms)

ms-2=√3+2√3ms

(2√3-1)ms= -2-√3

ms= (-2-√3)/(2√3-1)=(2+√3)/(1-2√3)

O ponto A(4,2) pertence a reta s:

y-yo=ms(x-xo)

y-2=(x-4)(2+√3)/(1-2√3)

(y-2)(1-2√3)=(x-4)(2+√3)

y-2y√3-2+4√3=2x+x√3-8-4√3

y(1-2√3)=(2+√3)x-8+2-8√3

y(1-2√3)=(2+√3)x-6-8√3

y=[(2+√3)x-6-8√3]/(1-2√3)

Racionalizando:

y=[(2+√3)x-6-8√3](1+2√3)/(1-2√3)(1+2√3)

y=[(2+√3)x+2√3(2+√3)x-6-12√3-8√3-16√3²]/(1²-2².√3²)

y=[(2+√3)x+4√3x+6x-54-20√3]/(1-4.3)

y=[(8+5√3)x-54-20√3]/(-11)

y=[-(8+5√3)x+54+20√3]/11