Question

Use a diferenciação logarítmica para achar a derivada da função. = ^e^x
(lendo: x sobre e, e sobre x)

Answer 1

Temos a seguinte função:

$y = x {}^{e {}^{x} }$

Para derivar essa função, vamos iniciar aplicando o logarítmo natural em casa os lados da função:

$\ln(y) = \ln(x {}^{e {}^{x} })$

Como sabemos pelas propriedade de logarítmos, o expoente pode virar um coeficiente, então:

$\ln(y) = e {}^{x} . \ln(x)$

Agora vamos derivar ambos os lados:

$\frac{d}{dx} ( \ln(y)) = \frac{d}{dx} (e {}^{x} . \ln(x))$

Do lado direito devemos aplicar a regra do produto, pois temos duas funções sendo multiplicadas. Já no lado esquerdo, temos que derivar implicitamente:

$\frac{1}{y} . \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} e {}^{x} . \ln(x) + e {}^{x} . \frac{d}{dx} \ln(x) \\ \\ \frac{1}{y} . \frac{dy}{dx} = e {}^{x} . \ln(x) + e {}^{x} . \frac{1}{x} \\ \\ \frac{dy}{dx} = y. \left(e {}^{x} . \ln(x) + \frac{e {}^{x} }{x} \right)$

Sabemos a função que corresponde a y, então:

$\boxed{\frac{dy}{dx} = x {}^{e {}^{x} } . \left(e {}^{x} . \ln(x) + \frac{e {}^{x} }{x} \right)}$

Portanto essa é a resposta. Espero ter ajudado