Question

Uma grande corretora de seguros emprega 386 funcionários. Sendo 224 mulheres e 162 homens. Para atender as regras de segurança nas instalações da companhia, é necessário formar uma comissão
de 20 pessoas para a brigada de
incêndio.
Considerando que essas 20 pessoas serão escolhidas aleatoriamente entre todos os funcionários

Calcule a probabilidadedesta comissão ser formada por 10 homens e 10 mulheres
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Answer 1

A ideia aqui é calcular o número total de comissões possíveis (chamaremos esse número de T) e calcular também o número dentre essas comissões que possuem exatamente 10 homens e 10 mulheres (chamaremos de F). Assumindo que todas comissões são equiprováveis, então a probabilidade procurada é  F/T = casos favoraveis / total de casos. Então basta calcularmos F e T.

Calculando T:

temos 386 funcionarios e queremos formar uma comissão de 20, sem restrições. Esse valor é dado pelo número binomial $\binom {386}{20}$. Portanto:

$T = \displaystyle \binom {386}{20} = \dfrac{386!}{20!366!}$

Calculando F:

Agora queremos formar uma comissão de 20, sendo 10 mulheres e 10 homens. Assim, isso é o mesmo que formar duas comissões: uma de 10 mulheres e outra de 10 homens. Como são 224 mulheres e 162 homens  temos:

$F = \displaystyle \binom{224}{10} \cdot \binom{162}{10} = \dfrac{224!}{10!214!} \cdot \dfrac{162!}{10!152!}$

Então a resposta é

$\dfrac FT = \displaystyle \dfrac{\binom {224}{10} \cdot \binom{162}{10}}{ \binom{386}{20}}$

Como da pra ver pelas fórmulas acima não tem muito o que simplificar daqueles fatoriais. Então acredito que é pra deixar indicado apenas