Question

A população de uma certa espécie de mamífero em uma região da Amazônia cresce segundo a lei n(t)=4.000⋅2 0,02t.

em que n(t) é o número de elementos estimado da espécie no ano t (t=0, 1, 2, ...), contado a partir de hoje (t=0).
Determine o número inteiro mínimo de anos necessários para que a população atinja 7.200 elementos.

Answer 1

Olá, boa noite.

A população de uma certa espécie de mamífero em uma região da Amazônia cresce segundo a lei $n(t)=4000\cdot2^{0{,}02t}$, em que $n(t)$ é o número de elementos estimado da espécie no ano $t$, com $t\in\{0,~1,~2,\cdots\}$, a partir de hoje $(t=0)$.

Devemos determinar o número inteiro mínimo de anos necessários para que a população atinja $7200$ elementos.

Fazendo $n(t)=7200$, temos:

$4000\cdot2^{0{,}02t}=7200$

Divida ambos os lados da igualdade por um fator $4000$ e simplifique a fração

$2^{0{,}02t}=\dfrac{9}{5}$

Calcule o logaritmo de base $10$ em ambos os lados da igualdade

$\log_{10}(2^{0{,}02t})=\log_{10}\left(\dfrac{9}{5}\right)$

Aplique as propriedades de logaritmos: $\log_c(a^b)=b\cdot \log_c(a),~a>0,~0<c\neq1$ e $\log_c\left(\dfrac{a}{b}\right)=\log_c(a)-\log_c(b),~a,~b>0,~0<c\neq1$.

$0{,}02t\cdot\log_{10}(2)=\log_{10}(9)-\log_{10}(5)$

Reescrevendo $9=3^2$ e $5=\dfrac{10}{2}$ e aplicando estas propriedades novamente, temos:

$0{,}02t\cdot\log_{10}(2)=\log_{10}(3^2)-\log_{10}\left(\dfrac{10}{2}\right)\\\\\\ 0{,}02t\cdot\log_{10}(2)=2\log_{10}(3)-(\log_{10}(10)-\log_{10}(2))\\\\\\ 0{,}02t\cdot\log_{10}(2)=2\log_{10}(3)-\log_{10}(10)+\log_{10}(2)$

Sabendo que $\log_c(c)=1, 0<c\neq1$, temos:

$0{,}02t\cdot\log_{10}(2)=2\log_{10}(3)-1+\log_{10}(2)$

Então, divida ambos os lados da igualdade por um fator $0{,}02\log_{10}(2)$

$t=\dfrac{2\log_{10}(3)-1+\log_{10}(2)}{0{,}02\log_{10}(2)}$

Utilizando a aproximação $\log_{10}(2)\approx 0{,}301$ e $\log_{10}(3)\approx 0{,}477$, temos:

$t=\dfrac{2\cdot0{,}477-1+0{,}301}{0{,}02\cdot0{,}301}$

Multiplique e some os valores

$t=\dfrac{0{,}954-1+0{,}301}{0{,}00602}\\\\\\ t=\dfrac{0{,}255}{0{,}00602}$

Multiplique a fração por um fator $\dfrac{100000}{100000}$, de modo que tenhamos:

$t=\dfrac{25500}{602}$

Calcule o resultado aproximado desta fração

$t\approx 42{,}39~anos$

Porém, como foi pedido o número inteiro mínimo, calculamos $\left \lfloor t \right \rfloor$:

$\left \lfloor t \right \rfloor=\left \lfloor 42{,}39 \right \rfloor\\\\\\ \left \lfloor t \right \rfloor = 42~anos~~\checkmark$

Este é o número inteiro mínimo de anos necessários para que a população atinja o valor desejado.